Уравнение движения точки дано в виде x = 4sin(π/6)t см. Найдите моменты времени, в которые достигаются максимальная скорость и максимальное ускорение.

Уравнение движения: \( x = 4 \sin\left(\frac{\pi}{6} t\right) \) см. Амплитуда \( A = 4 \) см, циклическая частота \( \omega = \frac{\pi}{6} \) рад/с.

Скорость: \( v = \dot{x} = 4 \cdot \frac{\pi}{6} \cos\left(\frac{\pi}{6} t\right) = \frac{2\pi}{3} \cos\left(\frac{\pi}{6} t\right) \) см/с.

Максимальная скорость по модулю \( |v|_{\text{max}} = \frac{2\pi}{3} \) см/с достигается, когда \( \cos\left(\frac{\pi}{6} t\right) = \pm 1 \), то есть \( \frac{\pi}{6} t = \pi k \), \( t = 6k \) с, где \( k = 0, 1, 2, \dots \)

Ускорение: \( a = \dot{v} = -4 \cdot \left(\frac{\pi}{6}\right)^2 \sin\left(\frac{\pi}{6} t\right) = -\frac{\pi^2}{9} \sin\left(\frac{\pi}{6} t\right) \) см/с².

Максимальное по модулю ускорение \( |a|_{\text{max}} = \frac{\pi^2}{9} \) см/с² достигается, когда \( \sin\left(\frac{\pi}{6} t\right) = \pm 1 \), то есть \( \frac{\pi}{6} t = \frac{\pi}{2} + \pi k \), \( t = 3 + 6k \) с.

Ответ: максимальная скорость в моменты \( t = 0, 6, 12, \dots \) с; максимальное ускорение в моменты \( t = 3, 9, 15, \dots \) с.

0 0 Пожаловаться