Собственное время жизни t0 мю-мезона равно 2 мкс. От точки рождения до точки распада в лабораторной системе отсчёта мю-мезон пролетел расстояние l = 6 км. С какой скоростью v (в долях скорости света) двигался мезон? Нужно полное решение и объяснение каждой формулы и действия.

Собственное время жизни мю-мезона — это время в системе отсчета, где он покоится. Обозначим его \( t_0=2\ \text{мкс} \).

В лабораторной системе время жизни больше из-за релятивистского замедления времени:

\[ t=\gamma t_0 \]

Здесь \( \gamma \) — лоренц-фактор:

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \]

где \( \beta=\frac{v}{c} \), то есть скорость в долях скорости света.

В лабораторной системе мезон пролетел расстояние \( l=6\ \text{км} \). Время движения равно:

\[ t=\frac{l}{v}=\frac{l}{\beta c} \]

Приравняем два выражения для времени:

\[ \frac{l}{\beta c}=\gamma t_0 \]

Подставим \( \gamma \):

\[ \frac{l}{\beta c}=\frac{t_0}{\sqrt{1-\beta^2}} \]

Перенесем величины так, чтобы получить уравнение для \( \beta \):

\[ \frac{l}{ct_0}=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}} \]

Найдем левую часть. Скорость света \( c=3\cdot10^8\ \text{м/с} \), а \( t_0=2\cdot10^{-6}\ \text{с} \):

\[ ct_0=3\cdot10^8\cdot2\cdot10^{-6}=600\ \text{м}=0{,}6\ \text{км} \]

Тогда:

\[ \frac{l}{ct_0}=\frac{6}{0{,}6}=10 \]

Получаем:

\[ \frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}=10 \]

Возведем обе части в квадрат:

\[ \frac{\beta^2}{1-\beta^2}=100 \]

Решим уравнение:

\[ \beta^2=100(1-\beta^2) \]

\[ \beta^2=100-100\beta^2 \]

\[ 101\beta^2=100 \]

\[ \beta^2=\frac{100}{101} \]

\[ \beta=\sqrt{\frac{100}{101}}\approx0{,}995 \]

Ответ: мю-мезон двигался со скоростью \( v\approx0{,}995c \), то есть примерно \( 99{,}5\% \) скорости света.

0 0 Пожаловаться