4. Круглая платформа вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. На платформе находится шарик массой m, прикреплённый к оси платформы нитью длиной l. Угол наклона нити равен α. Найти силу натяжения нити T и силу давления Fд шарика на платформу. Трение отсутствует.

5. Спутник запущен с экватора и движется по круговой орбите в плоскости экватора в направлении движения Земли. Найти отношение радиуса орбиты спутника к радиусу Земли, при котором он периодически проходит над точкой запуска ровно через двое суток. Радиус Земли Rз = 6400 км.

Задача 4. Шарик на вращающейся платформе

Дано:

• $m$ — масса шарика;

• $l$ — длина нити;

• $\omega$ — угловая скорость вращения платформы;

• $\alpha$ — угол наклона нити к вертикали;

• $g$ — ускорение свободного падения;

• трение отсутствует.

Найти: силу натяжения нити $T$ и силу давления шарика на платформу $F_{\text{д}}$.

Решение

Рассмотрим силы, действующие на шарик:

1. Сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз.

2. Сила реакции опоры $N$, направленная вертикально вверх.

3. Сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити к оси вращения.

Поскольку шарик вращается вместе с платформой, он движется по окружности радиуса

При этом центростремительное ускорение шарика равно

1. Найдём силу натяжения нити $T$.

В горизонтальном направлении на шарик действует только горизонтальная составляющая силы натяжения нити:

Подставим $r=l\sin\alpha$:

Сокращая на $\sin\alpha$, получаем:

2. Найдём силу давления шарика на платформу $F_{\text{д}}$.

В вертикальном направлении шарик не имеет ускорения, поэтому сумма вертикальных проекций сил равна нулю:

Отсюда:

Подставим найденную силу натяжения:

По третьему закону Ньютона сила давления шарика на платформу равна по модулю силе реакции опоры:

Следовательно,

Данное выражение справедливо, пока шарик сохраняет контакт с платформой, то есть $F_{\text{д}}\geq0$.

Ответ к задаче 4

Здесь угол $\alpha$ отсчитывается от вертикали. Если в условии подразумевается угол с горизонтальной плоскостью, во второй формуле вместо $\cos\alpha$ будет $\sin\alpha$.

Задача 5. Движение спутника Земли

Дано:

• $R_{\text{з}}=6400\text{ км}=6{,}4\cdot10^6\text{ м}$ — радиус Земли;

• $t=2$ суток $=172800\text{ с}$ — период повторного прохождения спутника над точкой запуска;