Платформа в виде горизонтально расположенного диска может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы. На платформе находится человек, которого в условии задачи можно рассматривать как материальную точку. Расходом энергии на преодоление сил трения пренебречь. Человек массой 60 кг стоит на краю неподвижной платформы. С какой скоростью (относительно платформы) должен пойти человек вдоль края платформы, чтобы она начала вращаться со скоростью, соответствую шей 3,0 об/мин? Масса платформы 120 кг, ее радиус 2.0 м.

Для того чтобы решить эту задачу, нам нужно воспользоваться законом сохранения углового момента, так как на платформу и человека действуют силы, создающие вращение. Рассмотрим ситуацию более подробно.

Дано:

• Масса человека $m = 60 \, \text{кг}$
• Масса платформы $M = 120 \, \text{кг}$
• Радиус платформы $R = 2.0 \, \text{м}$
• Число оборотов платформы $n = 3.0 \, \text{об/мин}$, что соответствует угловой скорости $\omega_{\text{плат}}$, которую нужно перевести в радианы в секунду.

Сначала переведем количество оборотов в угловую скорость:

Преобразуем в радианы в секунду:

Угловой момент системы:

1. Угловой момент платформы: Платформа вращается вокруг своей оси, и ее момент инерции можно выразить через формулу для момент инерции диска:

Угловой момент платформы:

2. Угловой момент человека: Человек стоит на краю платформы, и его момент инерции можно выразить как момент инерции материальной точки на расстоянии $R$ от оси вращения:

Когда человек начинает двигаться вдоль платформы, возникает момент инерции относительно оси вращения, который также будет зависеть от его скорости $v$ относительно платформы.

Закон сохранения углового момента:

Так как внешние моменты сил отсутствуют, угловой момент системы сохраняется. Поскольку платформа изначально покоится, то угловой момент человека должен быть равен угловому моменту платформы:

где минус указывает на противоположное направление вращения.

Момент инерции человека и угловая скорость его движения относительно платформы связаны следующим образом:

Отсюда угловая скорость человека:

Отрицательный знак указывает на противоположное направление вращения.

Теперь, чтобы найти скорость человека относительно платформы, используем связь между линейной и угловой скоростью:

Ответ: человек должен двигаться вдоль края платформы со скоростью $\frac{\pi}{5} \, \text{м/с}$, чтобы платформа начала вращаться с угловой скоростью 3 об/мин.