Снаряд массой 3 кг, выпущенный под углом 45 градусов к горизонту, пролетел по горизонтали

Ответы на вопрос

Отвечает Михайлова Яна.

Для того чтобы найти кинетическую энергию снаряда непосредственно перед его падением на Землю, нам нужно использовать основные принципы кинематики и механики.

1. Разбор задачи:

Масса снаряда $m = 3 \, \text{кг}$ .
Расстояние, пройденное снарядом по горизонтали $R = 10 \, \text{км} = 10000 \, \text{м}$ .
Угол наклона $\theta = 45^\circ$ .
Сопротивление воздуха пренебрегается.

2. Находим скорость и время полета снаряда.

2.1. Горизонтальная и вертикальная компоненты начальной скорости:

Снаряд был выпущен под углом 45 градусов. Мы можем разложить начальную скорость $v_0$ на горизонтальную и вертикальную компоненты. Обе компоненты будут равны (так как угол 45 градусов):

v_{0x} = v_0 \cdot \cos(45^\circ) = \frac{v_0}{\sqrt{2}},

v_{0y} = v_0 \cdot \sin(45^\circ) = \frac{v_0}{\sqrt{2}}.

2.2. Время полета:

Полный путь по горизонтали составляет 10 км. Поскольку горизонтальная скорость постоянна и равна $v_{0x}$ , то время полета можно найти, разделив горизонтальное расстояние на горизонтальную скорость:

t = \frac{R}{v_{0x}} = \frac{10000}{\frac{v_0}{\sqrt{2}}} = \frac{10000 \sqrt{2}}{v_0}.

2.3. Вертикальное движение:

Из законов движения с постоянным ускорением (в данном случае ускорение свободного падения $g = 9.8 \, \text{м/с}^2$ ) известно, что снаряд вернется на землю после времени полета, которое можно найти через его вертикальное движение. Из уравнения движения по вертикали:

y(t) = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2.

Так как снаряд возвращается на землю, то $y(t) = 0$ , и решение этого уравнения даст время полета $t$ . Но нам уже удалось выразить время через скорость, так что можно перейти к следующему шагу.

3. Энергия снаряда перед падением.

3.1. Кинетическая энергия:

Кинетическая энергия снаряда перед его падением будет зависеть от его скорости. Заметим, что на пути вверх и вниз вертикальная скорость изменяется из-за силы тяжести, но горизонтальная скорость остаётся неизменной (сопротивлением воздуха пренебрегаем).

Таким образом, перед падением снаряд будет иметь ту же горизонтальную скорость $v_{0x}$ и вертикальную скорость, которая будет равна по величине начальной вертикальной скорости $v_{0y}$ , но направлена вниз. Итоговая скорость будет направлена по касательной траектории и будет равна гипотенузе, составленной из горизонтальной и вертикальной скоростей:

v = \sqrt{v_{0x}^2 + v_{0y}^2}.

Так как $v_{0x} = v_{0y} = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$ , то

v = \sqrt{\left(\frac{v_0}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{v_0}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{2 \cdot \left(\frac{v_0^2}{2}\right)} = v_0.

То есть скорость снаряда перед падением будет равна начальной скорости $v_0$ , так как его горизонтальная скорость остаётся постоянной, а вертикальная только увеличивается в два раза.

3.2. Кинетическая энергия перед падением:

Кинетическая энергия снаряда перед его падением выражается формулой:

E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m v_0^2.