Отвечаю как на хорошем Q&A: что это за обороты, какие бывают и побольше примеров с пояснениями.

Что это такое

Фразеологизмы с именами собственными — устойчивые выражения, где частью оборота стал антропоним (личное имя, фамилия), топоним (географическое название), библейское или мифологическое имя. Имя в таких оборотах перестаёт обозначать конкретного человека/место и служит культурной отсылкой: даёт яркий образ и сразу подсвечивает смысл.

Основные группы и примеры

Ниже — самые живые и часто встречающиеся. Ставлю короткое толкование и источник образа.

Античные и мифологические

• Авгиевы конюшни — крайний запущенный беспорядок; подвиг Геракла у царя Авгия.

• Ахиллесова пята — слабое, уязвимое место; Ахиллес.

• Дамоклов меч — нависшая опасность; история о Дамокле.

• Прoкрустово ложе — насильное «подгоняние под мерку»; разбойник Прокруст.

• Сизифов труд — бесконечная, безрезультатная работа; Сизиф.

• Танталовы муки — мучительное ожидание недоступного; Тантал.

• Яблоко раздора — повод для ссоры; яблоко Эриды.

• Нить Ариадны / нить Ариадны — ключ к выходу из сложного положения; Ариадна и лабиринт.

• Мидасов дар — «всё в золото», но с плохими последствиями; царь Мидас.

• Между Сциллой и Харибдой — между двумя равно опасными сторонами; мифологические чудовища.

• Ящик Пандоры — источник бед, «открыть ящик Пандоры»; Пандора.

• Прометеев огонь — творческая, преобразующая сила; Прометей.

• Перейти Рубикон — сделать шаг, после которого нет возврата; река Рубикон и Цезарь.

• Гордиев узел (разрубить его) — запутанная задача / решительная развязка; миф о Гордии и Александре.

Библейские

• Иудин поцелуй — показная «ласка», скрывающая предательство; Иуда Искариот.

• Соломоново решение — мудрый, точный выход; царь Соломон.

• Содом и Гоморра — разгул, нестроение, беспредел.

• Манна небесная — желанный дар «сверху», неожиданная помощь.

• Ноев ковчег — сборище разнородного, «спасённое от беды».

• Фома неверующий — человек, требующий доказательств на всё.

• Каинова печать — отпечаток вины/преступления.

• Иерихонская труба — оглушительно громкий голос/звук.

• Вавилонское столпотворение — хаос голосов, суматоха.

Исторические и культурные

• Пиррова победа — «победа ценой поражения»; царь Пирр.

• Лукуллов пир — роскошное, изобильное застолье; Луций Лукулл.

• Богат как Крез — очень богат; царь Крез.

• Калиф на час — кратковременный властитель, мнимое величие; восточная сказка.

• Донжуанский список / донжуан — соблазнитель; Дон Жуан.

• Тартюф / тартюфство — лицемер, ханжество; герой Мольера.

• Буриданова ослица — парализующая нерешительность между равными вариантами; средневековый философ Буридан.

• Эффект Стрейзанд — попытка скрыть привлекает ещё больше внимания; современная культурная аллюзия.

• Оккамова бритва — предпочитать простое объяснение; Уильям Оккам (терминологизировано, но в речи используется как фразеологизм).

Литературные и «героические»

• Дон Кихот / донкихот — идеалист, борющийся с «ветряными мельницами».

• Гамлетовский вопрос / гамлетовские сомнения — мучительный экзистенциальный выбор.

• Обломовщина — вялость, апатия, пустое безделье; И. Гончаров.

• Хлестаковщина — бахвальство, пустозвонство; Н. Гоголь.

• Маниловщина — сладкая мечтательность без дела; Н. Гоголь.

• Плюшкин — скряга, болезненное стяжательство; Н. Гоголь.

• Робинзонада — жизнь в изоляции, выживание; Д. Дефо.

• Троянский конь — хитроумный обман, «подарок с подвохом»; античный миф (часто воспринимается как литературный).

Топонимы и этнонимы в составе оборота

• Китайская грамота — «совсем непонятно».

• Испанский стыд — чувство неловкости за чужие поступки.

• Ангельское терпение — предельное терпение (этноним/мифологема).

• Содом и Гоморра (уже было) — с двойным топонимом.

Как это пишется (важные орфографические заметки)

1. Прописная или строчная?
   В устойчивых выражениях прилагательные от имён чаще пишутся со строчной: ахиллесова пята, дамоклов меч, танталовы муки, соломоново решение, иудин поцелуй.
   Прописная сохраняется, когда имя не «растворилось» в обороте и остаётся именем персонажа/географическим названием: Дон Кихот, Рубикон, Троянский конь (часто «конь» со строчной, «Троянский» — с прописной допустимо как часть устойчивого имени; колеблется по традиции издания).

2. Склонение:

   • нить Ариадны, ящик Пандоры, меч Дамокла — имя склоняется.

   • Прилагательные на -ов/-ин тоже склоняются: ахиллесовой пяты, танталовых мук.

3. Кавычки не нужны, это не цитата и не название: разрубить gordиев узел пишем без кавычек.

4. Сложившиеся формы: ряд прилагательных закрепился именно так: авгиевы (а не «авгийские») конюшни, сизифов (а не «сизифский») труд, мидасов дар, буриданова ослица.

Небольшие «ловушки»

• Дон Кихот как персонаж — с прописных и раздельно; донкихот (тип человека) — уже нарицательное, со строчной и слитно; донкихотский поступок — прилагательное.

• Ахиллесова пята — «ахиллесова» со строчной; писать Ахиллесова с прописной — книжный вариант, но в норме — строчная.

• Пиррова победа, но не «пирровская победа» в устойчивом значении.

• Калиф на час — через пробел; дефиса нет.

• Между Сциллой и Харибдой — обе части склоняются.

Примеры в живых предложениях

• После аудита стало ясно, что в отделе — авгиевы конюшни.

• В проекте всё отлично, но ахиллесова пята — техподдержка.

• Мы год возились с отчётами — прямо сизифов труд.

• Его комплименты — чистой воды Иудин поцелуй.

• Решение суда — почти соломоново: всем досталось по справедливости.

• Руководитель у них — калиф на час: пришёл, пошумел и исчез.

• Новая функция оказалась троянским конём — вместе с ней пришла куча багов.

• После провала PR-кампании сработал эффект Стрейзанд.

• Мы уже перешли Рубикон — откатывать нечего.

• Его романтика — чисто донкихотская: борьба с «ветряками».

Если нужна совсем краткая выжимка для конспекта, запомните пять-шесть «опорных» образов: ахиллесова пята, дамоклов меч, сизифов труд, пиррова победа, иудин поцелуй, нить Ариадны. Это покрывает половину типичных ситуаций, где требуются фразеологизмы с именами собственными.