Найдите наименьшее значение n:
[tex]\displaystyle \frac{1}{\sin 45 ^{\circ}\cdot \sin 46^{\circ} } +\frac{1}{\sin 47^{\circ} \cdot \sin 48^{\circ}} + \ldots +\frac{1}{\sin 133^{\circ}\cdot \sin 134^{\circ} } =\frac{1}{ \sin n^{\circ}}[/tex]

Заметим, что \( \frac{1}{\sin\alpha \sin(\alpha+1^\circ)} = \frac{1}{\sin 1^\circ}(\cot\alpha - \cot(\alpha+1^\circ)) \).

Тогда сумма \( S = \frac{1}{\sin 1^\circ}\bigl( (\cot 45^\circ - \cot 46^\circ) + (\cot 47^\circ - \cot 48^\circ) + \ldots + (\cot 133^\circ - \cot 134^\circ) \bigr) \).

Рассмотрим сумму котангенсов: \( T = \cot 45^\circ - \cot 46^\circ + \cot 47^\circ - \cot 48^\circ + \ldots + \cot 133^\circ - \cot 134^\circ \).

Сгруппируем отдельно положительные и отрицательные члены:

\( T = (\cot 45^\circ + \cot 47^\circ + \ldots + \cot 133^\circ) - (\cot 46^\circ + \cot 48^\circ + \ldots + \cot 134^\circ) \).

Используем свойство \( \cot(180^\circ - x) = -\cot x \). Тогда:

\( \cot 133^\circ = -\cot 47^\circ,\ \cot 131^\circ = -\cot 49^\circ,\ \ldots,\ \cot 91^\circ = -\cot 89^\circ \). Поэтому в первой скобке все слагаемые, кроме \( \cot 45^\circ \), попарно уничтожаются: \( \cot 47^\circ + \ldots + \cot 89^\circ + \cot 91^\circ + \ldots + \cot 133^\circ = 0 \). Остаётся только \( \cot 45^\circ = 1 \).

Во второй скобке: \( \cot 134^\circ = -\cot 46^\circ,\ \cot 132^\circ = -\cot 48^\circ,\ \ldots,\ \cot 92^\circ = -\cot 88^\circ \), а \( \cot 90^\circ = 0 \). Все члены также дают в сумме 0.

Таким образом, \( T = 1 - 0 = 1 \), и \( S = \frac{1}{\sin 1^\circ} \cdot 1 = \frac{1}{\sin 1^\circ} \).

Следовательно, \( n = 1 \) (наименьшее положительное значение).

Ответ: \( n = 1 \).

0 0 Пожаловаться