В равнобедренной трапеции ABCD точка M — середина боковой стороны AB, AM=5, угол CMD=90°. Найдите периметр трапеции ABCD.

Пусть \( AD = a \), \( BC = b \), высота трапеции \( h \). Так как трапеция равнобедренная, \( AB = CD = 10 \) (по условию \( AM = 5 \), \( M \) — середина \( AB \), значит \( AB = 10 \)).

Расположим трапецию в системе координат: \( A(0;0) \), \( D(a;0) \), \( B\left(\frac{a-b}{2}; h\right) \), \( C\left(\frac{a+b}{2}; h\right) \).

Точка \( M \) — середина \( AB \): \( M\left(\frac{a-b}{4}; \frac{h}{2}\right) \).

Угол \( CMD = 90^\circ \), поэтому векторы \( \overrightarrow{MC} \) и \( \overrightarrow{MD} \) перпендикулярны:

\( \overrightarrow{MC} = \left(\frac{a+3b}{4}; \frac{h}{2}\right) \), \( \overrightarrow{MD} = \left(\frac{3a+b}{4}; -\frac{h}{2}\right) \).

Скалярное произведение: \( \frac{(a+3b)(3a+b)}{16} - \frac{h^2}{4} = 0 \) → \( (a+3b)(3a+b) - 4h^2 = 0 \).

Из \( \triangle ABH \) (где \( BH \perp AD \)): \( AB^2 = \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 + h^2 = 100 \) → \( h^2 = 100 - \frac{(a-b)^2}{4} \).

Подставляем \( h^2 \) в уравнение перпендикулярности:

\( (a+3b)(3a+b) - 4\left(100 - \frac{(a-b)^2}{4}\right) = 0 \)

\( 3a^2 + 10ab + 3b^2 - 400 + (a-b)^2 = 0 \)

\( 3a^2 + 10ab + 3b^2 - 400 + a^2 - 2ab + b^2 = 0 \)

\( 4a^2 + 8ab + 4b^2 = 400 \)

\( 4(a+b)^2 = 400 \) → \( (a+b)^2 = 100 \) → \( a+b = 10 \) (положительное).

Периметр: \( P = AB + BC + CD + AD = 10 + b + 10 + a = 20 + (a+b) = 20 + 10 = 30 \).

Ответ: 30.

0 0 Пожаловаться