1. Найти значение выражения:
1) sin 150° ; cos 315°; 2) cos 5π/ 3; sin 4π/ 3 ;
3) tg 3π /4 ; tg210° .
2. Вычислить а) sin α, cos 2α, если cosα= 5/ 13 и
0<α< π/ 2
б) cos α, sin 2α, если sinα= 9 13 и π /2 <α<π
3. Упростить выражение
a) sin(α−β)+sinβ cosα tgα б) sinα sinβ−cos(α−β) ctgβ .
4. Доказать тождество
a) 2sin2α+cos( 3π /2 −α )−sin(π+α) 1+sin⁡( 3π/ 2 −α ) =−2sinα
б) sin 2 (π−α)+cos2α+sin( π /2 −α ) sin2α+cos( 3π /2 −α ) = 1 /2 ctg α ] .
5. Решить уравнение
а) sin 3x cos x = cos 3x sin x − 1
б) cos 5x cos 3x = 1 − sin 5x sin 3x.

1. Найдём значения выражений.

1) (\sin 150^\circ); (\cos 315^\circ)

[
\sin 150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin30^\circ=\frac12.
]

[
\cos315^\circ=\cos(360^\circ-45^\circ)=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}.
]

Ответ:

[
\sin150^\circ=\frac12,\qquad \cos315^\circ=\frac{\sqrt2}{2}.
]

2) (\cos\frac{5\pi}{3}); (\sin\frac{4\pi}{3})

[
\frac{5\pi}{3}=300^\circ,
]

поэтому

[
\cos\frac{5\pi}{3}=\cos300^\circ=\frac12.
]

[
\frac{4\pi}{3}=240^\circ.
]

Угол (240^\circ) находится в III четверти, где синус отрицателен:

[
\sin\frac{4\pi}{3}=\sin240^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}.
]

Ответ:

[
\cos\frac{5\pi}{3}=\frac12,\qquad \sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}.
]

3) (\tg\frac{3\pi}{4}); (\tg210^\circ)

[
\frac{3\pi}{4}=135^\circ.
]

[
\tg\frac{3\pi}{4}=\tg135^\circ=-1.
]

[
\tg210^\circ=\tg(180^\circ+30^\circ)=\tg30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}.
]

Ответ:

[
\tg\frac{3\pi}{4}=-1,\qquad \tg210^\circ=\frac{\sqrt3}{3}.
]

2. Дано:

[
\cos\alpha=\frac5{13}.
]

Найдём (\sin\alpha) по основному тригонометрическому тождеству:

[
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.
]

[
\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha.
]

[
\sin^2\alpha=1-\left(\frac5{13}\right)^2
=1-\frac{25}{169}
=\frac{144}{169}.
]

[
\sin\alpha=\frac{12}{13}.
]

Знак синуса выбран положительным, если в условии после «и (0\ldots)» указано, что угол (\alpha) находится в I или II четверти.

Теперь найдём (\cos2\alpha):

[
\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1.
]

[
\cos2\alpha=2\left(\frac5{13}\right)^2-1
=2\cdot\frac{25}{169}-1
=\frac{50}{169}-\frac{169}{169}
=-\frac{119}{169}.
]

Ответ:

[
\sin\alpha=\frac{12}{13},\qquad \cos2\alpha=-\frac{119}{169}.
]