Как объединить два вида решения в одно?
Вот примеры.
1-й пример:
[tex]x= \frac{\pi}{3}n, \\ n\in Z \\ \\ x=\pi k, \\ k\in Z[/tex]
Объединение этих решений в одно:
[tex]x= \frac{\pi}{3}n, \\ n\in Z. [/tex]

2-й пример:
[tex]x= \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}; \\ x= \frac{\pi}{4}+ \frac{\pi n}{2}; \\ x= \frac{\pi}{2}+\pi n.[/tex]
1-е и 3-е решения можно объединить, и получим:
[tex]x= \frac{\pi}{5}( \frac{1}{2} + n); [/tex]

Объединять решения можно тогда, когда одно множество решений полностью входит в другое. Тогда более узкое решение можно не писать отдельно.

В первом примере:

\[x=\frac{\pi}{3}n,\quad n\in \mathbb Z\]

и

\[x=\pi k,\quad k\in \mathbb Z\]

Все числа вида \(\pi k\) входят в первый набор, потому что \(\pi k=\frac{\pi}{3}\cdot 3k\). Значит, общее решение:

\[x=\frac{\pi}{3}n,\quad n\in \mathbb Z\]

Во втором примере первое решение:

\[x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}\]

уже содержит третье:

\[x=\frac{\pi}{2}+\pi n\]

потому что \(\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi}{5}\), а шаг \(\pi\) кратен шагу \(\frac{\pi}{5}\). Поэтому их можно записать одним видом:

\[x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\quad n\in \mathbb Z\]

или так:

\[x=\frac{\pi}{5}\left(n+\frac{1}{2}\right),\quad n\in \mathbb Z\]

Общее правило: сначала сравни шаги решений, потом проверь, входят ли значения одного набора в другой. Если входят, оставляй более общий набор.

0 0 Пожаловаться