При помощи каких натуральных чисел можно выразить катеты прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна √50? Сколько возможных способов существует?

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$. По теореме Пифагора:

Гипотенуза:

значит:

Получаем уравнение:

Нужно найти такие натуральные числа $a$ и $b$, квадраты которых в сумме дают 50.

Проверим возможные квадраты натуральных чисел меньше 50:

Ищем пары:

значит:

Получается прямоугольный треугольник с катетами 1 и 7.

Еще:

значит:

Получается треугольник с равными катетами 5 и 5.

Других вариантов нет, так как остальные квадраты не дают сумму 50.

Следовательно, возможные катеты:

и

Всего существует 2 способа выразить катеты натуральными числами. Если считать перестановку катетов отдельным случаем, то для пары $1$ и $7$ будут варианты $(1;7)$ и $(7;1)$, тогда получится 3 варианта. Обычно порядок катетов не учитывают, поэтому ответ: 2 способа.