Какие из следующих утверждений верны?

1) Любые два прямоугольных треугольника подобны.
2) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.
3) Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов.
4) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Давайте разберем каждое утверждение подробно:

1) Любые два прямоугольных треугольника подобны. Это утверждение ложно. Прямоугольные треугольники могут быть подобны, только если углы у них одинаковы, что означает, что их острые углы равны. Подобие предполагает, что отношения соответствующих сторон этих треугольников одинаковы, а это не всегда так для любых прямоугольных треугольников. Например, прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 не подобен треугольнику с катетами 6 и 8 и гипотенузой 10, несмотря на то, что оба прямоугольные.

2) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8. Это утверждение верно. Давайте воспользуемся теоремой Пифагора. По этой теореме, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$10^2 = 6^2 + x^2$

$100 = 36 + x^2$

$x^2 = 64$

$x = 8$

Таким образом, второй катет действительно равен 8.

3) Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов. Это утверждение ложно. Согласно теореме косинусов, косинус угла в треугольнике выражается через стороны, но не в виде простой пропорции. Теорема косинусов утверждает, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)$

Здесь важно, что нет пропорциональности между сторонами треугольника и косинусами противолежащих углов.

4) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Это утверждение ложно. Это было бы верно только для прямоугольного треугольника (где косинус прямого угла равен нулю). В общем случае для любого треугольника применяется теорема косинусов, которая добавляет член с удвоенным произведением сторон и косинусом угла между ними:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)$

Без этого члена формула будет неполной и неверной для всех треугольников, кроме прямоугольных.

Таким образом, верными являются только утверждения 2.