sin 4x + 2 cos²x = 0

Синус четырёх икс плюс два косинус квадрат икс равно нулю.

Решим тригонометрическое уравнение:

Шаг 1. Применим формулу двойного угла

Воспользуемся формулой:

Также известно, что:

Следовательно,

Подставим в исходное уравнение:

Вынесем общий множитель $2\cos x$:

Шаг 2. Приравняем множители к нулю

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Первый случай:

Отсюда получаем:

Второй случай:

Поскольку случай $\cos x=0$ уже рассмотрен, можем разделить уравнение на $\cos x$:

Используем формулу:

Получаем:

Обозначим $t=\tan x$:

Умножим на $1+t^2$:

Перенесём слагаемые:

Шаг 3. Найдём корень кубического уравнения

Это кубическое уравнение имеет один действительный корень:

Поскольку $t=\tan x$, получаем:

Следовательно,

Точное значение корня кубического уравнения можно записать через кубические радикалы:

Ответ

Таким образом, уравнение имеет две серии решений: