1.Две стороны треугольника равны 6 см и 4√2 см, а угол между ними - 135º. Найдите третью сторону треугольника и его площадь. ​

Для решения этой задачи мы можем использовать два основных метода: теорему косинусов для нахождения длины третьей стороны и формулу для расчёта площади треугольника, когда известны две стороны и угол между ними.

1. Находим длину третьей стороны треугольника:

Пусть стороны треугольника равны a, b и c, и угол между сторонами a и b равен γ. В нашем случае a = 6 см, b = 4√2 см, и γ = 135°. По теореме косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(γ)$

Подставим значения:

$c^2 = 6^2 + (4\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \cos(135°)$

Значение косинуса 135° равно $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Тогда:

$c^2 = 36 + 32 - 2 \cdot 6 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $c^2 = 36 + 32 + 48$ $c^2 = 116$

Отсюда, $c = \sqrt{116}$ см.

2. Находим площадь треугольника:

Площадь треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, находится по формуле:

$S = \frac{1}{2}ab \sin(γ)$

Подставляем значения:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sin(135°)$

Значение синуса 135° также равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Тогда:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ $S = 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ $S = 12$

Таким образом, длина третьей стороны треугольника составляет $\sqrt{116}$ см, а его площадь - 12 квадратных сантиметров.