Определённый интеграл.
Геометрический смысл определённого интеграла.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
y = 4 – x², y = x² – 2x.

Определённый интеграл показывает накопленный результат изменения величины на данном промежутке. Если функция \(y=f(x)\) неотрицательна, то интеграл \(\int_a^b f(x)\,dx\) численно равен площади фигуры под графиком функции от \(x=a\) до \(x=b\).

Найдём точки пересечения линий:

\[4-x^2=x^2-2x\]

\[2x^2-2x-4=0\]

\[x^2-x-2=0\]

\[x=-1,\quad x=2\]

На отрезке от \(-1\) до \(2\) сверху находится график \(y=4-x^2\). Поэтому площадь равна:

\[S=\int_{-1}^{2}\bigl((4-x^2)-(x^2-2x)\bigr)\,dx\]

\[S=\int_{-1}^{2}(4+2x-2x^2)\,dx=9\]

Ответ: площадь фигуры равна \(9\) квадратным единицам.

0 0 Пожаловаться