Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=-x^2+4
Y=0

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -x^2 + 4$ и $y = 0$, необходимо определить точки пересечения и проинтегрировать функцию, описывающую эту фигуру, в пределах этих точек.

Шаг 1: Определим точки пересечения

Поскольку фигура ограничена линиями $y = -x^2 + 4$ и $y = 0$, приравняем их:

Решим это уравнение:

Таким образом, точки пересечения – это $x = -2$ и $x = 2$. Это пределы интегрирования.

Шаг 2: Запишем интеграл для площади

Площадь между кривой $y = -x^2 + 4$ и осью $y = 0$ на отрезке $x \in [-2, 2]$ можно найти по формуле:

Шаг 3: Вычислим интеграл

Теперь разложим интеграл:

Разделим интеграл на два выражения и найдем их значения отдельно.

1. Вычисление интеграла $\int_{-2}^{2} -x^2 \, dx$

Поскольку функция $-x^2$ является чётной (симметрична относительно оси $y$), её интеграл от $-2$ до $2$ будет удвоенным интегралом от $0$ до $2$:

2. Вычисление интеграла $\int_{-2}^{2} 4 \, dx$

Это просто константа, поэтому:

Шаг 4: Сложим результаты

Теперь сложим значения обоих интегралов, чтобы найти общую площадь:

Ответ

Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -x^2 + 4$ и $y = 0$, равна $\frac{32}{3}$.