Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 4x - x^2, y = 4 - x.

Найдём площадь фигуры, ограниченной параболой

и прямой

1. Найдём точки пересечения графиков

Приравняем уравнения:

Перенесём всё в одну сторону:

или

Разложим на множители:

Отсюда:

Найдём координаты точек пересечения:

При $x=1$:

Получаем точку:

При $x=4$:

Получаем точку:

2. Сделаем рисунок (схематично)

Парабола $y=4x-x^2$ — ветви направлены вниз, вершина находится в точке:

То есть вершина параболы:

Прямая $y=4-x$ проходит через найденные точки $(1;3)$ и $(4;0)$.

Схема области:

        y
        |
     4  |       • (2;4)
        |     /\
        |    /  \
     3  | •      \
        |(1;3)    \
        |           \
     0  |------------•------ x
                 (4;0)
      область между прямой и параболой

На отрезке $1\le x\le 4$ парабола расположена выше прямой, поэтому площадь равна интегралу разности функций.

3. Составим интеграл площади

Упростим выражение:

4. Вычислим интеграл

Первообразная:

Подставим пределы:

При $x=4$:

При $x=1$:

Приведём к общему знаменателю:

Теперь найдём разность: