1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=x^2+12 и касательными к ней, проведенными из точки A(0;3) 2. Найти площадь фигуры, ограниченной осями координат, параболой y=x^2+3 и касательной к ней в точке A(2;7)

Разберу обе задачи через уравнения касательных и определённые интегралы, чтобы было видно, какая именно область считается.

1. Площадь фигуры, ограниченной параболой $y=x^2+12$ и касательными к ней из точки $A(0;3)$

Парабола:

Найдём касательные к ней, проходящие через точку $A(0;3)$.

Пусть касательная касается параболы в точке с абсциссой $x=t$. Тогда точка касания имеет координаты:

Производная параболы:

Значит, угловой коэффициент касательной в точке $x=t$ равен:

Уравнение касательной:

Раскроем скобки:

Так как касательная проходит через точку $A(0;3)$, подставим $x=0,\ y=3$:

Значит, касательные касаются параболы в точках с абсциссами $x=3$ и $x=-3$.

Для $t=3$:

Для $t=-3$:

Получили две касательные:

Фигура ограничена сверху параболой, а снизу двумя касательными. Из-за симметрии можно взять правую половину и умножить на 2.

На отрезке $0\le x\le 3$ верхняя граница:

нижняя граница:

Тогда площадь правой половины:

Полная площадь:

Ответ:

2. Площадь фигуры, ограниченной осями координат, параболой $$