1) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x³ + 2, где x ≥ 0, касательной к этому графику, проведённой через его точку с абсциссой x₀ = 1, и прямой x = 0. 2) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2 – x², y = 0, x = -1, x = 0.

1. Дана функция \(y=x^3+2\). Производная:

\[ y'=3x^2 \]

В точке \(x_0=1\): \(y=3\), \(y'=3\). Касательная:

\[ y-3=3(x-1) \]

\[ y=3x \]

Площадь между графиком \(y=x^3+2\), касательной \(y=3x\) и прямой \(x=0\):

\[ S_1=\int_0^1 ((x^3+2)-3x)\,dx \]

\[ S_1=\left(\frac{x^4}{4}+2x-\frac{3x^2}{2}\right)_0^1=\frac{3}{4} \]

2. Фигура ограничена линиями \(y=2-x^2\), \(y=0\), \(x=-1\), \(x=0\). Площадь:

\[ S_2=\int_{-1}^{0}(2-x^2)\,dx \]

\[ S_2=\left(2x-\frac{x^3}{3}\right)_{-1}^{0}=\frac{5}{3} \]

Ответ: \(S_1=\frac{3}{4}\), \(S_2=\frac{5}{3}\).

0 0 Пожаловаться