Комплексные числа. Найти z в 12 степени, если z = 2cos(π/8) (sin(3π/4) + i + i cos(3π/4)).

Запишем число в тригонометрической форме:

\[z=2\cos\frac{\pi}{8}\left(\sin\frac{3\pi}{4}+i+i\cos\frac{3\pi}{4}\right).\]

После упрощения получаем:

\[z=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\right).\]

По формуле Муавра:

\[z^{12}=(\sqrt{2})^{12}\left(\cos\frac{12\pi}{8}+i\sin\frac{12\pi}{8}\right).\]

\[z^{12}=64\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)=-64i.\]

Ответ: \(-64i\).

0 0 Пожаловаться