Запись числа 281 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 1. Чему равно максимально возможное основание системы счисления?

Для начала давайте разберёмся с условиями задачи. Нам необходимо записать число 281 в системе счисления с основанием $N$, где запись содержит 3 цифры и заканчивается на 1.

1. Запись числа в системе счисления

Если число 281 имеет 3 цифры в системе счисления с основанием $N$, то оно может быть записано в виде:

где $a_2, a_1, a_0$ — цифры числа в этой системе счисления, причем $a_2$ не может быть равно 0 (так как это старшая цифра).

2. Условия записи

• Так как число заканчивается на 1, это значит, что $a_0 = 1$.
• Следовательно, у нас есть:

3. Преобразуем уравнение

Выразим уравнение:

4. Ограничения на цифры

Цифры $a_2$ и $a_1$ должны удовлетворять следующим условиям:

• $a_2$ может принимать значения от 1 до $N-1$ (так как это старшая цифра).
• $a_1$ может принимать значения от 0 до $N-1$.

5. Максимально возможное основание $N$

Теперь нам нужно определить максимально возможное основание $N$, при котором число 281 может быть представлено в виде трехзначного числа в этой системе счисления.

5.1 Оценка оснований

Для начала, найдем верхнюю границу для $N$. Поскольку $a_2$ хотя бы равно 1, мы можем сделать следующее неравенство:

Это дает нам:

Следовательно, максимально возможное целое основание $N$ не может превышать 16.

5.2 Проверка оснований

Теперь мы проверим возможные значения $N$ от 16 до 3:

1. Для $N = 16$:

   $$a_2 \cdot 16^2 + a_1 \cdot 16 + 1 = 280$$ $$a_2 \cdot 256 + a_1 \cdot 16 = 279$$

   Здесь $a_2$ может быть максимум 1 (так как 2 не может быть цифрой при основании 16). Это значение не подходит.

2. Для $N = 15$:

   $$a_2 \cdot 15^2 + a_1 \cdot 15 + 1 = 280$$ $$a_2 \cdot 225 + a_1 \cdot 15 = 279$$

   Если $a_2 = 1$, $a_1 = 3$ подходит. Запись: 131 в 15-ой системе.

3. Для $N = 14$:

   $$a_2 \cdot 14^2 + a_1 \cdot 14 + 1 = 280$$ $$a_2 \cdot 196 + a_1 \cdot 14 = 279$$

   Это значение не дает подходящего результата.

4. Для $N = 13$:

   $$a_2 \cdot 13^2 + a_1 \cdot 13 + 1 = 280$$ $$a_2 \cdot 169 + a_1 \cdot 13 = 279$$

   Здесь тоже значения не подходят.

И так далее, пока не дойдем до основания 10 и ниже.

6. Результат

Из всех проверенных оснований, максимальным основанием, которое удовлетворяет условиям задачи и позволяет записать число 281 в виде трехзначного числа, является 15.