по информатике задали ответить с доказательством: когда двоичное число четное

Короткий ответ: двоичное число чётное тогда и только тогда, когда его запись оканчивается на 0 (то есть младший бит равен 0).

Доказательство
Рассмотрим двоичное число в позиционной форме:

Все слагаемые с $i\ge1$ кратны 2, потому что $2^i=2\cdot 2^{i-1}$. Значит, при делении $N$ на 2 остаток даёт только слагаемое при $i=0$:

Отсюда $N$ чётно $\Leftrightarrow N \bmod 2 = 0 \Leftrightarrow b_0=0$. А $b_0$ — это и есть последний (правый, младший) бит записи числа. Следовательно, последняя цифра двоичного числа определяет его чётность: последняя цифра 0 — число чётное, последняя цифра 1 — нечётное.

Интуиция
В двоичной системе основание равно 2, поэтому «последняя цифра» показывает остаток при делении на 2. Ровно так же в десятичной системе последняя цифра показывает остаток при делении на 10: если последняя цифра 0,2,4,6,8 — число чётное.

Примеры

• $10110_2$ оканчивается на 0 ⇒ чётное (это 22 в десятичной).

• $1001_2$ оканчивается на 1 ⇒ нечётное (это 9 в десятичной).

• $0_2$ — чётное; $1_2$ — нечётное.

Следствие для вычислений
Проверить чётность двоичного числа можно мгновенно: достаточно посмотреть на младший бит (или, в терминах операций, «$N$ чётно ⇔ младший бит равен 0»).