почему 0 в степени 0 равно 1?

Короткий ответ: в подавляющем большинстве «дискретных» и алгебраических контекстов 0⁰ удобно и логично считать равным 1 — это делает десятки формул непрерывными и единообразными. В анализе же выражение 0⁰ часто оставляют «неопределённым» именно как предельную форму, потому что разные пути к нулю дают разные пределы. Обе позиции не противоречат друг другу: речь о разных задачах.

Чуть подробнее — почему именно 1:

1. Правила степеней
   Для ненулевого a мы доказываем $a^{0}=1$ из тождества $a^{m}/a^{m}=a^{m-m}=a^{0}$. Хоть деление на ноль запрещено и это рассуждение формально не работает при $a=0$, принятие $0^{0}=1$ сохраняет все стандартные тождества степеней без исключений в «угловом» случае. Это ценная единообразность.

2. «Пустое произведение»
   Степень $a^{n}$ — это произведение $n$ множителей, равных $a$. Когда $n=0$, множителей нет вообще — получается пустое произведение, а по определению в алгебре пустое произведение равно 1 (нейтральный элемент по умножению). Тогда $a^{0}=1$ для любого $a$, в том числе формально и $0^{0}=1$.

3. Бином и многочлены
   Формула Ньютона $(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}y^{\,n-k}$ прекрасно работает и при $x=0$ или $y=0$ только если считать $0^{0}=1$. Например, при $n=0$ слева $(x+y)^{0}\equiv 1$, а справа единственный член с $k=0$: $\binom{0}{0}x^{0}y^{0}=1\cdot 1\cdot 1$. Если бы $0^{0}$ «не было», в нуле пришлось бы делать специальные оговорки.

Аналогично с многочленами и степенными рядами: чтобы функция вида $f(x)=\sum_{n\ge 0} a_{n}x^{n}$ в точке $x=0$ естественно давала $f(0)=a_{0}$, нужно понимать $0^{0}=1$ для нулевого члена.

4. Комбинаторика и теории множеств
   Кардинальное возведение в степень $|B|^{|A|}$ — это число функций из множества $A$ в $B$. Если $A=\varnothing$ и $B=\varnothing$, то ровно одна функция существует — пустая. Значит, $0^{0}=1$. Ещё интуиция: количество слов длины 0 над алфавитом из $k$ символов — одно (пустое слово), то есть $k^{0}=1$ при любом $k$, в том числе $k=0$.

Почему же в анализе пишут, что $0^{0}$ — «неопределённость»?
Потому что речь о пределах вида $f(x)^{g(x)}$ при $f(x)\to 0$ и $g(x)\to 0$. Значение такого предела может зависеть от того, как именно функции идут к нулю:

• $x^{x}\to 1$ при $x\to 0^{+}$;

• $\big(e^{-1/x}\big)^{x}=e^{-1}$ при $x\to 0^{+}$;

• $\big(e^{-1/x^{2}}\big)^{x}=e^{-1/x}\to 0$ при $x\to 0^{+}$.
  Раз предел может получаться разным, сам «тип» $0^{0}$ в вычислениях пределов называют неопределённой формой. Это не запрет на значение $0^{0}$ как отдельного числа, а предупреждение: нельзя механически подставлять «1» внутри предела без анализа.

Итог. В чистой алгебре, комбинаторике, при работе с многочленами и степенными рядами удобно и последовательно полагать $0^{0}=1$. В задачах предельного перехода $0^{0}$ трактуют как неопределённую форму и каждый раз разбирают конкретный предел. Поэтому ответ «почему равно 1» — потому что так сохраняются базовые тождества и комбинаторные смыслы без исключений; это рабочая и очень полезная конвенция.