Сколько существует в четырехбуквенном алфавите(А,В,С,D) различных кодовых слов длиной не более 5 символов и содержащих ровно одну букву А?

Для решения задачи необходимо найти количество различных кодовых слов длиной не более 5 символов в четырехбуквенном алфавите {А, В, С, D}, которые содержат ровно одну букву А.

Общий план:

1. Мы можем строить кодовые слова длиной 1, 2, 3, 4 и 5 символов.
2. Каждое кодовое слово должно содержать ровно одну букву А, остальные символы могут быть В, С или D.
3. Для каждого случая нужно рассмотреть разные длины кодовых слов (от 1 до 5) и количество возможных размещений буквы А внутри кодового слова.

Шаг 1. Рассмотрим кодовые слова длины 1.

• Единственный вариант слова длины 1 с ровно одной буквой А — это само слово "А".
• Количество таких слов: 1.

Шаг 2. Рассмотрим кодовые слова длины 2.

• У нас есть 2 позиции для букв, в одной из которых должна находиться буква А.
• Количество вариантов для буквы А: можно разместить её либо на первой, либо на второй позиции, это 2 варианта.
• Для оставшихся позиций (одна позиция) у нас есть 3 варианта (В, С, D).
• Количество кодовых слов длиной 2 с ровно одной буквой А: $2 \times 3 = 6$.

Шаг 3. Рассмотрим кодовые слова длины 3.

• У нас есть 3 позиции, и буква А может стоять на одной из них. Это 3 варианта для размещения буквы А.
• Для каждой из оставшихся двух позиций мы можем выбрать любую из трёх букв (В, С, D), что даёт $3^2 = 9$ возможных комбинаций.
• Количество кодовых слов длиной 3 с ровно одной буквой А: $3 \times 9 = 27$.

Шаг 4. Рассмотрим кодовые слова длины 4.

• У нас есть 4 позиции, и буква А может стоять на одной из них. Это 4 варианта для размещения буквы А.
• Для каждой из оставшихся трёх позиций у нас также есть 3 возможные буквы (В, С, D), что даёт $3^3 = 27$ возможных комбинаций.
• Количество кодовых слов длиной 4 с ровно одной буквой А: $4 \times 27 = 108$.

Шаг 5. Рассмотрим кодовые слова длины 5.

• У нас есть 5 позиций, и буква А может стоять на одной из них. Это 5 вариантов для размещения буквы А.
• Для остальных четырёх позиций у нас есть 3 возможные буквы (В, С, D), что даёт $3^4 = 81$ возможных комбинаций.
• Количество кодовых слов длиной 5 с ровно одной буквой А: $5 \times 81 = 405$.

Шаг 6. Подсчёт общего количества.

Теперь мы суммируем все возможные комбинации для кодовых слов длиной 1, 2, 3, 4 и 5:

• Длина 1: 1
• Длина 2: 6
• Длина 3: 27
• Длина 4: 108
• Длина 5: 405

Общее количество кодовых слов:
$1 + 6 + 27 + 108 + 405 = 547$.

Ответ: 547 различных кодовых слов длиной не более 5 символов, содержащих ровно одну букву А.