❗️СРОЧНО❗️ В результате многолетних наблюдений учитель информатики знает, что у половины его учеников итоговой отметкой за год будет «четвёртка», у 1/4 учеников - «пятёрка», у 1/8 - «тройка», а остальные ученики по разным причинам окажутся неаттестованными. Какое количество информации мы получим после того, как узнаем, какую именно отметку получил ученик?

P. S. Помогите гуманитарию, ибо он немного тормоз в любом предмете, где есть цифры.

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте разберемся, сколько информации мы получаем, узнавая итоговую отметку ученика, с точки зрения теории информации. Информация измеряется в битах, и можно использовать формулу Хартли-Шеннона, которая гласит, что количество информации $I$ в сообщении с вероятностью $P$ рассчитывается по формуле:

Где:

• $P$ — вероятность события (в данном случае, вероятность получения конкретной отметки).

1. Определим вероятности

Вопрос нам говорит, что:

• У половины учеников итоговая отметка будет «четвёрка», то есть вероятность получить «четвёрку» равна $\frac{1}{2}$.
• У четверти учеников итоговая отметка будет «пятёрка», то есть вероятность получить «пятёрку» равна $\frac{1}{4}$.
• У 1/8 учеников итоговая отметка будет «тройка», значит вероятность получения «тройки» равна $\frac{1}{8}$.
• Остальные ученики останутся неаттестованными, что означает, что вероятность остаться неаттестованным составляет $\frac{1}{8}$ (поскольку сумма вероятностей должна равняться 1).

Таким образом, у нас есть четыре возможных исхода с вероятностями:

• «Четвёрка»: $P_1 = \frac{1}{2}$
• «Пятёрка»: $P_2 = \frac{1}{4}$
• «Тройка»: $P_3 = \frac{1}{8}$
• «Неаттестован»: $P_4 = \frac{1}{8}$

2. Вычислим информацию для каждого исхода

Теперь рассчитаем количество информации для каждого из исходов по формуле $I = -\log_2(P)$.

1. Для отметки «четвёрка»:

   $$I_1 = -\log_2\left(\frac{1}{2}\right) = 1 \text{ бит}$$

2. Для отметки «пятёрка»:

   $$I_2 = -\log_2\left(\frac{1}{4}\right) = 2 \text{ бита}$$

3. Для отметки «тройка»:

   $$I_3 = -\log_2\left(\frac{1}{8}\right) = 3 \text{ бита}$$

4. Для результата «неаттестован»:

   $$I_4 = -\log_2\left(\frac{1}{8}\right) = 3 \text{ бита}$$

3. Сколько информации мы получаем в среднем?

Теперь рассчитаем среднее количество информации (энтропию), которое мы получаем после того, как узнаем, какую именно отметку получил ученик. Для этого нужно суммировать произведения вероятностей на количество информации для каждого исхода:

Подставим значения:

Проводим вычисления:

Приведем к общему знаменателю (8):

Ответ

В среднем, узнавая итоговую отметку ученика, мы получаем 1.75 бита информации.