Артур составляет 5-буквенные коды из букв А, П, О, Р, Т. Каждую букву нужно использовать ровно один раз, при этом нельзя ставить рядом две гласные. Сколько различных кодов может составить Артур? Напишите с объяснением, пожалуйста

Для решения задачи рассмотрим, как можно составить 5-буквенные коды из букв $А, П, О, Р, Т$, соблюдая условие, что рядом не могут стоять две гласные (гласные в данном случае: $А$ и $О$).

1. Общая идея

В каждом коде все пять букв должны использоваться ровно один раз, то есть нам нужно работать с перестановками всех букв $А, П, О, Р, Т$. Общее количество всех перестановок пяти букв равно $5!$, так как все буквы различны.

Но нас интересует только те перестановки, где рядом не стоят две гласные.

2. Определим позиции гласных

Гласные: $А, О$. Остальные буквы ($П, Р, Т$) — согласные.

1. Рассмотрим все способы расставить гласные $А$ и $О$ в пяти позициях так, чтобы они не были соседними.
2. Если гласные не могут быть рядом, это значит, что между ними всегда должна быть хотя бы одна согласная буква.

3. Размещение согласных

Условимся обозначить позиции как $[ \_ \, \_ \, \_ \, \_ \, \_ ]$, где на каждом месте будет одна буква. Расставим согласные $П, Р, Т$, чтобы они создали основу для последующего размещения гласных.

Количество способов расположить $П, Р, Т$ на любых трёх местах равно $3!$:

После этого остаются две свободные позиции для $А$ и $О$, которые гарантированно не будут соседними, так как между ними расположены согласные.

4. Размещение гласных

Теперь рассмотрим два свободных места для $А$ и $О$. Эти две буквы могут быть расположены на этих местах в любом порядке, то есть $2!$:

5. Итоговое количество кодов

Для каждого размещения согласных $П, Р, Т$ есть 2 способа расположить гласные $А$ и $О$, а способов расставить согласные изначально было 6. Таким образом, общее количество допустимых кодов:

Умножаем это на количество перестановок согласных:

Ответ