5. Вася составляет 5-буквенные коды из букв К, А, Л, И, Й. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом код не может начинаться с буквы Й и не может содержать сочетания ИА. Сколько различных кодов может составить Вася?

Для решения задачи определим все ограничения и шаги, необходимые для нахождения количества возможных кодов:

1. Доступные буквы: У нас есть пять букв — К, А, Л, И и Й, и каждая из них должна использоваться ровно один раз в коде.

2. Ограничения:

   • Код не может начинаться с буквы Й.
   • Код не может содержать сочетание ИА.

3. Общее количество возможных кодов без ограничений: Если бы ограничений не было, то количество способов составить 5-буквенные коды из 5 различных букв можно было бы вычислить как 5! (факториал числа 5), так как порядок букв важен, и каждый код включает все пять букв.

   $$5! = 120$$

4. Первое ограничение: код не может начинаться с буквы Й.

   • Если зафиксируем первую букву, мы можем выбрать из 4 других букв любую для первого места, кроме Й, то есть всего 4 варианта первой буквы.
   • После выбора первой буквы остаётся 4 буквы, которые могут быть использованы на оставшихся позициях, а значит, для каждой из них остаётся 4! вариантов перестановки оставшихся букв.
   $$4 \times 4! = 4 \times 24 = 96$$

   Теперь у нас есть 96 кодов, которые не начинаются с Й.

5. Второе ограничение: код не должен содержать сочетание ИА.

   • Найдём количество кодов, которые содержат сочетание ИА, чтобы затем вычесть их из общего количества кодов.
   • Рассмотрим ИА как один "блок", поскольку эти две буквы всегда идут подряд. Таким образом, вместо 5 символов у нас остаётся 4 "блока" (ИА, К, Л, Й), которые можно переставлять.
   • Количество возможных перестановок этих 4 "блоков" равно 4!.
   $$4! = 24$$
   • Однако среди этих кодов часть будет начинаться с Й. Посчитаем такие случаи:
     • Если первая буква Й, остаётся ещё 3 "блока" для перестановки, что даёт 3! способов.
     $$3! = 6$$
   • Таким образом, количество кодов, которые содержат сочетание ИА, но не начинаются с Й, равно: $$24 - 6 = 18$$

6. Результат:

   • Вычитаем количество неподходящих кодов (содержащих ИА) из количества кодов, не начинающихся на Й.
   $$96 - 18 = 78$$

Таким образом, Вася может составить 78 различных кодов, которые соответствуют всем условиям задачи.