По каналу связи передаются сообщения, каждое из которых содержит 8 букв А, 8 букв Б, 16 букв В и 32 буквы Г (других букв в сообщениях нет).
Каждую букву кодируют двоичной последовательностью.

При выборе кода учитывались два требования:
а) ни одно кодовое слово не является началом другого (это нужно, чтобы код допускал однозначное декодирование);
б) общая длина закодированного сообщения должна быть как можно меньше.

Какая суммарная длина всех четырёх кодовых слов?

Давайте разберём задачу шаг за шагом.

Условия задачи:

У нас есть сообщения, содержащие:

• 8 букв "А",
• 8 букв "Б",
• 16 букв "В",
• 32 буквы "Г".

Каждую букву нужно закодировать с помощью двоичной последовательности. При этом должны выполняться два условия:

1. Условие однозначности декодирования — никакое кодовое слово не должно быть префиксом другого. Это условие подразумевает, что кодовая система должна быть префиксной (например, система Хаффмана).
2. Минимизация общей длины закодированного сообщения — нужно выбрать такие коды для каждой буквы, чтобы суммарная длина кодов была как можно меньше.

1. Определение вероятности каждой буквы

Всё сообщение состоит из 64 символов, так как: $8 + 8 + 16 + 32 = 64$

Теперь вычислим вероятность появления каждой буквы:

• Буква "А" появляется 8 раз, то есть её вероятность $P(A) = \frac{8}{64} = \frac{1}{8}$,
• Буква "Б" также появляется 8 раз, $P(Б) = \frac{8}{64} = \frac{1}{8}$,
• Буква "В" появляется 16 раз, $P(В) = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$,
• Буква "Г" появляется 32 раза, $P(Г) = \frac{32}{64} = \frac{1}{2}$.

2. Применение кодирования с минимальной длиной

Для минимизации длины сообщения используется принцип, что более вероятные символы должны иметь более короткие коды, а менее вероятные — более длинные. Такой принцип реализуется в префиксном кодировании, например, в кодировании Хаффмана.

Поскольку:

• вероятность буквы "Г" максимальна, то ей будет соответствовать наименьший код,
• вероятность буквы "А" минимальна, соответственно, ей будет назначен код большей длины.

3. Построение кодов

Для построения оптимальных кодов можно воспользоваться алгоритмом Хаффмана. Основные шаги:

• Составляем частоты появления символов: $P(A) = \frac{1}{8}$, $P(Б) = \frac{1}{8}$, $P(В) = \frac{1}{4}$, $P(Г) = \frac{1}{2}$.
• Строим дерево, начиная с наиболее вероятных символов, чтобы минимизировать общую длину закодированного сообщения.

Для упрощённого описания:

1. Букве "Г" будет присвоен код длиной 1 бит (поскольку её вероятность 50%).
2. Букве "В" — код длиной 2 бита (поскольку её вероятность 25%).
3. Букве "А" и "Б" будет присвоен код длиной 3 бита (каждая из них имеет вероятность 12,5%).

4. Суммарная длина кодовых слов

Теперь давайте рассчитаем суммарную длину кодов для всех букв:

• Буквы "А" (8 символов) будут закодированы 3 битами, то есть 8 × 3 = 24 бита.
• Буквы "Б" (8 символов) будут закодированы 3 битами, то есть 8 × 3 = 24 бита.
• Буквы "В" (16 символов) будут закодированы 2 битами, то есть 16 × 2 = 32 бита.
• Буквы "Г" (32 символа) будут закодированы 1 битом, то есть 32 × 1 = 32 бита.

Теперь суммируем: $24 + 24 + 32 + 32 = 112$

Ответ:

Суммарная длина всех четырёх кодовых слов — 112 бит.