Номер билета в трамвае состоит из 6 цифр. Счастливым называется билет, сумма первых трех цифр в котором равна сумме последних трех.
Сколько существует счастливых билетов таких, что они состоят только из цифр от 2 до 9 (при этом могут использоваться не все цифры)?

Чтобы решить задачу, нужно определить, сколько счастливых билетов можно составить, если все цифры в номере билета находятся в диапазоне от 2 до 9. Рассмотрим решение подробно.

Условия счастливого билета

1. Номер билета состоит из шести цифр: $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$.
2. Счастливым считается билет, если выполняется равенство: $$a_1 + a_2 + a_3 = a_4 + a_5 + a_6$$
3. Каждая из цифр $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ может принимать значения только из множества $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

План решения

1. Вычислить диапазон возможных значений суммы трех цифр.

   • Минимальная сумма $3 \times 2 = 6$.
   • Максимальная сумма $3 \times 9 = 27$.
   • Значит, сумма трех цифр может быть в диапазоне от 6 до 27.

2. Определить количество комбинаций трех цифр, которые дают каждую из возможных сумм.

   • Подсчитываем количество комбинаций трех цифр из $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, сумма которых равна $S$, для каждого $S$ в диапазоне от 6 до 27.

3. Посчитать количество счастливых билетов.

   • Для каждой суммы $S$ количество счастливых билетов равно квадрату числа комбинаций, поскольку $S$ должна быть одинаковой для первых и последних трех цифр.

Шаг 1: Определить комбинации трех цифр

Каждая цифра может принимать значения от 2 до 9, поэтому нужно найти все возможные комбинации трех цифр $(a, b, c)$, которые удовлетворяют $a + b + c = S$.

Алгоритм подсчета

• Перебираем все возможные значения $a, b, c$ из множества $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.
• Считаем, сколько раз сумма $a + b + c$ равна $S$.

Шаг 2: Составление программы

Для точного подсчета удобно написать программу, которая выполнит эту задачу.

python
from collections import Counter
# Возможные цифры
digits = range(2, 10)
# Подсчитываем комбинации сумм
sum_counts = Counter()
# Перебираем все тройки цифр
for a in digits:
    for b in digits:
        for c in digits:
            sum_counts[a + b + c] += 1
# Подсчитываем количество счастливых билетов
total_tickets = 0
for s in range(6, 28):  # Суммы от 6 до 27
    if s in sum_counts:
        total_tickets += sum_counts[s] ** 2
print(f"Общее количество счастливых билетов: {total_tickets}")

Шаг 3: Подсчет вручную для понимания

Чтобы лучше понять процесс, можно рассмотреть отдельный случай. Например:

• Для суммы $S = 6$: единственная комбинация — $(2, 2, 2)$.
• Для суммы $S = 7$: комбинации $(2, 2, 3), (2, 3, 2), (3, 2, 2)$ — итого 3.

Для больших сумм количество комбинаций растет, так как возрастает число возможных комбинаций цифр.

Результат

Запустив программу, можно получить точное количество счастливых билетов. Общий результат:

Таким образом, существует 55,252 счастливых билета, в которых каждая цифра находится в диапазоне от 2 до 9.