Выражение 22015 22014 ⋯ 23 22 21 20 вычислили, прибавили к нему 4, затем полученное число записали в двоичной системе счисления. Сколько нулей в этой записи?

Давайте подробно разберем задачу шаг за шагом.

1. Запишем выражение:

Имеется произведение всех чисел от 22015 до 20:

2. Упростим анализ:

Это факториал, но не начиная с 1. В данном случае, это эквивалентно:

Другими словами, мы берем полное произведение чисел от 1 до 22015 и делим его на произведение чисел от 1 до 19.

3. Прибавим 4 к результату:

После вычисления этого произведения добавляется число 4.

4. Перевод в двоичную систему счисления:

Наша цель — найти количество нулей в двоичной записи этого числа. Для этого нужно понять:

• Сколько нулей добавляется в двоичное представление при делении факториалов.
• Как прибавление числа 4 влияет на запись.

5. Найдем степень двойки в знаменателе:

Влияние степени двойки на факториалы определяется числом делений чисел факториала на 2. Количество степеней двойки в $22015!$ вычисляется с помощью формулы Лежандра:

Для $22015!$ нужно подсчитать:

Для $19!$, аналогично:

Разница между этими значениями даст степень двойки в знаменателе.

6. Анализ результата:

После деления остаются некоторые множители. Прибавление 4 к числу может повлиять на его двоичную запись, но оно не изменяет основные свойства. В двоичном представлении величина $4$ добавляет единичные биты только к младшим разрядам.

7. Итог:

Количество нулей в двоичной записи зависит от разности степеней двойки в числителе и знаменателе, дополнительно скорректированной добавлением 4.