Информатика, 30 баллов. 1. При каких значениях переменных логическое выражение x₁ · ¬x₂ · ¬x₃ · x₄ истинно? При каких оно ложно?

2. При каких значениях переменных логическое выражение x₁+x₂+¬x₃+¬x₄ ложно? при каких оно истинно?

Пожалуйста, с объяснением и желательно с таблицей истинности.

Для начала, давайте разберемся, что означают символы в этих логических выражениях:

• $x_1, x_2, x_3, x_4$ — это логические переменные, которые могут быть либо истинными (1), либо ложными (0).
• $\neg$ — это операция отрицания, которая меняет значение переменной на противоположное: если $x$ истинно, то $\neg x$ ложно, и наоборот.
• $\cdot$ — это операция логического И (конъюнкция), которая возвращает 1 (истинно) только в случае, если все операнды истинны (1).
• $+$ — это операция логического ИЛИ (дизъюнкция), которая возвращает 1 (истинно), если хотя бы один операнд истинно.

Теперь давайте рассмотрим оба выражения по порядку.

Задание 1: $x_1 \cdot \neg x_2 \cdot \neg x_3 \cdot x_4$

Здесь мы видим, что логическое выражение истинно, только если все его части истинны:

• $x_1$ должно быть истинно (1).
• $\neg x_2$ должно быть истинно, то есть $x_2$ должно быть ложно (0).
• $\neg x_3$ должно быть истинно, то есть $x_3$ должно быть ложно (0).
• $x_4$ должно быть истинно (1).

Итак, чтобы выражение было истинным, значения переменных должны быть следующими:

• $x_1 = 1$
• $x_2 = 0$
• $x_3 = 0$
• $x_4 = 1$

Иначе выражение будет ложным. В таблице истинности это будет выглядеть так:

Таким образом, выражение $x_1 \cdot \neg x_2 \cdot \neg x_3 \cdot x_4$ истинно только при $x_1 = 1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 0$, $x_4 = 1$.

Задание 2: $x_1 + x_2 + \neg x_3 + \neg x_4$

Здесь выражение истинно, если хотя бы одна из частей выражения истинна. Давайте разберемся:

• $x_1$ может быть истинным (1).
• $x_2$ может быть истинным (1).
• $\neg x_3$ должно быть истинным, если $x_3$ ложно (0).
• $\neg x_4$ должно быть истинным, если $x_4$ ложно (0).

Чтобы выражение было ложным, все части должны быть ложными:

• $x_1$ должно быть ложным (0).
• $x_2$ должно быть ложным (0).
• $\neg x_3$ должно быть ложным, то есть $x_3$ должно быть истинным (1).
• $\neg x_4$ должно быть ложным, то есть $x_4$ должно быть истинным (1).

Итак, выражение будет ложным при $x_1 = 0$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$, $x_4 = 1$.

В таблице истинности это будет так: