Ав­то­мо­биль­ный номер со­сто­ит из не­сколь­ких букв (ко­ли­че­ство букв оди­на­ко­вое во всех но­ме­рах), за ко­то­ры­ми сле­ду­ют 4 цифры. При этом ис­поль­зу­ют­ся 10 цифр и толь­ко 4 буквы: А, В, Т, О. Нужно иметь не менее 1 000 000 раз­лич­ных но­ме­ров. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство букв долж­но быть в ав­то­мо­биль­ном но­ме­ре?

Для того чтобы вычислить наименьшее количество букв в автомобильном номере, которое обеспечит хотя бы 1 000 000 различных номеров, давайте разберемся поэтапно.

1. Структура номера: по условиям задачи номер состоит из букв и цифр. После нескольких букв идут 4 цифры.

2. Используемые символы:

   • Для цифр: всего 10 возможных цифр (от 0 до 9).
   • Для букв: используется 4 буквы: А, В, Т, О.

3. Общее количество вариантов номеров: количество различных номеров будет равно произведению количества вариантов для букв и количества вариантов для цифр.

   • Если буквы составляют часть номера, то давайте обозначим количество букв как $n$. Тогда общее количество вариантов букв будет $4^n$, потому что на каждой позиции может стоять одна из 4 букв.
   • Для цифр же имеется 10 вариантов на каждой из 4 позиций, и количество вариантов для цифр будет $10^4$.

4. Общее количество возможных номеров:

   $$\text{Общее количество номеров} = 4^n \times 10^4$$

   Нам нужно, чтобы это количество было не меньше 1 000 000, то есть:

   $$4^n \times 10^4 \geq 1 000 000$$

   Разделим обе части неравенства на $10^4$ (10000):

   $$4^n \geq \frac{1 000 000}{10^4} = 100$$

5. Решение неравенства: Теперь нужно найти минимальное $n$, при котором $4^n \geq 100$. Попробуем разные значения $n$:

   • $4^1 = 4$
   • $4^2 = 16$
   • $4^3 = 64$
   • $4^4 = 256$

   Видим, что $4^3 = 64$ меньше 100, а $4^4 = 256$ уже больше 100.

6. Ответ: Минимальное количество букв в номере должно быть 4, так как только при $n = 4$ можно получить достаточное количество различных номеров (не менее 1 000 000).

Таким образом, наименьшее количество букв в автомобильном номере должно быть 4.