Программирование на C++
Входные данные
Вводятся целые числа a и b. Гарантируется, что a не превосходит b. Выходные данные
Выведите все числа на отрезке от a до b, являющиеся полными квадратами. Если таких чисел нет, то ничего выводить не нужно.

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся, как можно найти все полные квадраты на отрезке от числа $a$ до числа $b$.

Что такое полный квадрат?

Полным квадратом называется число, которое можно выразить в виде $n^2$, где $n$ — целое число. Например, 1, 4, 9, 16, 25 — это полные квадраты.

Шаги решения:

1. Определение границ квадрата: Чтобы найти все полные квадраты на отрезке $[a, b]$, нужно понять, какие числа в этом интервале могут быть квадратами. Начнем с того, что квадрат числа $n$ — это число $n^2$.

2. Нахождение первого возможного квадрата: Для этого можно найти наименьшее целое число $n$, которое в квадрате даёт число, не меньшее $a$. Это можно сделать, вычислив $\lceil \sqrt{a} \rceil$ (округление в большую сторону). Это число и будет первым кандидатом для нахождения квадрата.

3. Нахождение последнего возможного квадрата: Последним числом, чей квадрат не превышает $b$, будет $\lfloor \sqrt{b} \rfloor$ (округление в меньшую сторону). Это число и будет последним кандидатом.

4. Печать всех квадратов: Теперь, начиная с числа $n$, будем вычислять квадраты и проверять, попадают ли они в интервал $[a, b]$. Если попадают — выводим их.

Пример:

Предположим, нам нужно найти все полные квадраты на отрезке от 10 до 50.

• Находим $\lceil \sqrt{10} \rceil = 4$, так как $4^2 = 16$ и это первое число, которое больше или равно 10.
• Находим $\lfloor \sqrt{50} \rfloor = 7$, так как $7^2 = 49$ и это последнее число, чей квадрат не превышает 50.
• Таким образом, квадраты чисел от 4 до 7 будут: $4^2 = 16, 5^2 = 25, 6^2 = 36, 7^2 = 49$.

Алгоритм:

1. Вводим два числа $a$ и $b$.
2. Находим первый и последний возможный квадраты.
3. Для каждого числа от первого до последнего находим его квадрат и выводим, если он попадает в интервал $[a, b]$.

Код на C++:

cpp
#include 
#include 
int main() {
    int a, b;
    std::cin >> a >> b;
    // Начинаем с самого малого числа, квадрат которого >= a
    int start = std::ceil(std::sqrt(a));
    
    // Идем до самого большого числа, квадрат которого <= b
    int end = std::floor(std::sqrt(b));
    // Выводим квадраты всех чисел от start до end
    for (int i = start; i <= end; ++i) {
        std::cout << i * i << std::endl;
    }
    return 0;
}

Пояснение к коду:

1. Мы используем функции std::ceil и std::floor, чтобы найти ближайшие целые числа, чьи квадраты попадают в заданный интервал.
2. В цикле от start до end находим квадраты чисел и выводим их.

Важные моменты:

• Если нет чисел, являющихся полными квадратами на отрезке, программа ничего не выведет.
• Поскольку $a \leq b$, гарантируется, что интервал всегда имеет смысл и будет содержать как минимум одно число, если оно является полным квадратом.

Таким образом, это решение эффективно решает задачу нахождения всех полных квадратов на отрезке от $a$ до $b$.