Докажите, что треугольник АВС прямоугольный, если координаты его вершин таковы: А(3;5); В(4;0); С(1;3).

Найдём квадраты длин сторон треугольника по формуле:

[
MN^2=(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2.
]

Для стороны (AC):

[
AC^2=(1-3)^2+(3-5)^2=(-2)^2+(-2)^2=4+4=8.
]

Для стороны (BC):

[
BC^2=(1-4)^2+(3-0)^2=(-3)^2+3^2=9+9=18.
]

Для стороны (AB):

[
AB^2=(4-3)^2+(0-5)^2=1^2+(-5)^2=1+25=26.
]

Получаем:

[
AC^2+BC^2=8+18=26=AB^2.
]

Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник (ABC) является прямоугольным. Сторона (AB) — гипотенуза, поэтому прямой угол находится при вершине (C):

[
\angle ACB=90^\circ.
]