1. Для треугольника АВС справедливо равенство: а) АВ2= ВС2+АС2-2ВС∙АС∙cosВСА б) ВС2= ВА2+АС2-2АВ∙АС∙cosАВС в) АС2= АВ2+ВС2-2АВ∙ВС∙cosАСВ 2. Площадь треугольника MNK равна: а) ½ MK∙NK∙sinMNK б) ½ MN∙MK∙sinMNK в) ½ MN∙NK∙sinMNK 3. Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то эта сторона лежит напротив: а) тупого угла б) прямого угла в) острого угла 4. Для треугольника POS запишите теорему синусов. 5. Определите вид треугольника со сторонами 5, 6, 7 см. 6. В треугольнике АВС А = 30˚, ВС = 3. Найдите радиус описанной окружности около треугольника АВС. 7. Если в треугольнике АВС А = 38˚, В = 72˚, то наибольшей стороной треугольника является сторона а) АВ б) АС в) ВС 8.Определите верное высказывание: а) стороны треугольника пропорциональны синусам прилежащих углов б) если один из острых углов прямоугольного треугольника равен 35˚, то другой равен 45˚ в) стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов г) косинусом острого угла прямоугольного треугольника является отношение прилежащего катета к гипотенузе 9. В треугольнике АВС, АВ = 10 см, АС = 5 см, А = 30˚. Найдите неизвестную сторону 10. В треугольнике АВС, АВ = 18 см, А = 30˚, C = 45˚. Найдите сторону ВС.

Давай разберем каждое из предложенных заданий по порядку:

1. Для треугольника АВС справедливо равенство:

Эти формулы соответствуют теореме косинусов, которая используется для нахождения сторон треугольника через углы и другие стороны:

• а) $AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos(\angle BCA)$ — это теорема косинусов для стороны AB.
• б) $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$ — это теорема косинусов для стороны BC.
• в) $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$ — это теорема косинусов для стороны AC.

2. Площадь треугольника MNK равна:

Формула для нахождения площади треугольника через две стороны и синус угла между ними выглядит следующим образом:

• а) $\frac{1}{2} \cdot MK \cdot NK \cdot \sin(\angle MNK)$ — правильная формула для площади треугольника, где MK и NK — стороны, а $\sin(\angle MNK)$ — синус угла между ними.
• б) и в) не совсем корректны, так как стороны не соответствуют углу.

3. Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то эта сторона лежит напротив:

Это условие соответствует теореме Пифагора:

• б) прямого угла — это именно тот случай, когда треугольник является прямоугольным.

4. Для треугольника POS запишите теорему синусов.

Теорема синусов формулируется следующим образом:

где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, а $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ — противолежащие им углы.

5. Определите вид треугольника со сторонами 5, 6, 7 см.

Для определения вида треугольника можно воспользоваться теоремой косинусов или проверить соотношения сторон:

• $5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$, а $7^2 = 49$. То есть, $49 < 61$.
• Это означает, что треугольник является остроугольным, так как квадрат наибольшей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон.

6. В треугольнике АВС, $\angle A = 30^\circ$, $BC = 3$. Найдите радиус описанной окружности около треугольника АВС.

Радиус описанной окружности R можно найти по формуле:

При $\angle A = 30^\circ$, $\sin(30^\circ) = 0.5$:

7. Если в треугольнике АВС $\angle A = 38^\circ$, $\angle B = 72^\circ$, то наибольшей стороной треугольника является сторона:

В треугольнике наибольшая сторона лежит напротив наибольшего угла:

• Наибольший угол — $\angle B = 72^\circ$.
• Следовательно, наибольшей стороной является AC.

8. Определите верное высказывание:

Рассмотрим каждое утверждение:

• а) Неверно. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, а не прилежащих.
• б) Неверно. В прямоугольном треугольнике, если один угол равен 35°, то другой острый угол будет равен $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.
• в) Верно. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов (теорема синусов).
• г) Верно. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника является отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Итак, верны высказывания в) и г).

9. В треугольнике АВС, $AB = 10$ см, $AC = 5$ см, $\angle A = 30^\circ$. Найдите неизвестную сторону.

Используем теорему косинусов для нахождения стороны $BC$:

Подставим значения:

$\cos(30^\circ) = \sqrt{3}/2$:

Решение этого уравнения даст значение $BC$