1) Какое утверждение называется следствием? Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую.

2) Докажите, что если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

3) Какая теорема называется обратной данной теореме? Приведите примеры теорем, обратных данным.

4) Докажите, что если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

5) Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.

6) Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей: а) соответственные углы равны; б) сумма односторонних углов равна 180 градусам.

1. Какое утверждение называется следствием? Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую.

Следствием называется утверждение, которое непосредственно вытекает из аксиомы или ранее доказанной теоремы.

Дано: прямые $a$ и $b$ параллельны, прямая $c$ пересекает прямую $a$.

Доказать: прямая $c$ пересекает прямую $b$.

Доказательство:

Пусть $a\parallel b$, а прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $M$.

Предположим, что прямая $c$ не пересекает прямую $b$. Тогда $c\parallel b$.

Получается, что через точку $M$, не лежащую на прямой $b$, проходят две различные прямые $a$ и $c$, параллельные прямой $b$.

Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, согласно которой через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Следовательно, наше предположение неверно, и прямая $c$ обязательно пересекает прямую $b$.

Что и требовалось доказать.

2. Докажите, что если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Дано: $a\parallel c$, $b\parallel c$.

Доказать: $a\parallel b$ (прямые $a$ и $b$ различны).

Доказательство:

Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке $M$.

По условию обе прямые параллельны прямой $c$.

Получается, что через точку $M$ проходят две различные прямые $a$ и $b$, параллельные одной и той же прямой $c$.

Это противоречит аксиоме параллельных прямых.

Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться, а значит, они параллельны.

Таким образом,

Что и требовалось доказать.

3. Какая теорема называется обратной данной теореме? Приведите примеры теорем, обратных данным.

Обратной данной теореме называется теорема, в которой условие и заключение данной теоремы меняются местами.

Например, если дана теорема «Если выполняется условие А, то выполняется условие Б», то обратная ей теорема будет звучать так: «Если выполняется условие Б, то выполняется условие А».

Пример 1.

Прямая теорема: если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Обратная теорема: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Пример 2.

Прямая теорема: если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны.

Обратная теорема: если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

Пример 3.

Прямая теорема: если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Обратная теорема: если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.

Важно: не всякое утверждение, обратное верной теореме, является верным. Обратную теорему необходимо доказывать отдельно.

4. Докажите, что если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Дано: $a\parallel b$, $c\perp a$.

Доказать: $c\perp b$.

Доказательство:

Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, а прямая $c$ пересекает прямую $a$, то по доказанному в первом пункте следствию она пересекает и прямую $b$.

Обозначим точку пересечения прямых $c$ и $b$ буквой $M$.

Проведём через точку $M$ прямую $d$, перпендикулярную прямой $c$.

Тогда $a\perp c$ и $$