1.
Дан
параллелограмм ABCD. Прямые АА1 и СС1 не лежат в
плоскости параллелограмма и прямые АА1 и СС1 параллельны.
дак-ть: (А1АД) параллельно (С1СВ)


2.
Параллелограммы ABCD и A1B1C1D1 не лежат в
одной плоскости. Доказать, что (СВС1) и (DAD1) параллельны.

3.
Две плоскости
параллельны между собой. Из точки М, не лежащей ни в одной из этих плоскостей,
ни между плоскостями, проведены две прямые, пересекающие эти плоскости
соответственно в точках А1 и А2, В1 и В2. Известно, что МА1=4см, В1В2=9см,
А1А2=МВ1. Найдите МА2 и МВ2.


4.
Дан прямоугольный
параллелепипед ABCDA1B1C1D1, основанием которого является ромб ABCD, угол BAD=30 градусов,
AB=18, BB1=12.
площадь АВ1С1Д

Рассмотрим каждое из предложенных заданий по порядку:

Задача 1

Условие: Дан параллелограмм $ABCD$. Прямые $AA_1$ и $CC_1$ не лежат в плоскости параллелограмма и параллельны друг другу. Необходимо доказать, что плоскость $(A_1AD)$ параллельна плоскости $(C_1CB)$.

Решение:

1. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то стороны $AB$ и $CD$ параллельны, а также $AD$ и $BC$ параллельны.
2. По условию задачи прямые $AA_1$ и $CC_1$ параллельны и не лежат в плоскости параллелограмма $ABCD$.
3. Теперь рассмотрим плоскость $(A_1AD)$. В ней лежат прямые $AA_1$ и $AD$.
4. В плоскости $(C_1CB)$ лежат $CC_1$ и $CB$.
5. Поскольку $AA_1 \parallel CC_1$ и $AD \parallel CB$, по теореме о параллельности двух пересекающихся прямых, мы заключаем, что плоскости $(A_1AD)$ и $(C_1CB)$ параллельны.

Ответ: Плоскость $(A_1AD)$ параллельна плоскости $(C_1CB)$.

Задача 2

Условие: Параллелограммы $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ не лежат в одной плоскости. Доказать, что плоскости $(C_1BC)$ и $(DAD_1)$ параллельны.

Решение:

1. Так как $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограммы, то их соответствующие стороны параллельны: $AB \parallel A_1B_1$, $BC \parallel B_1C_1$, $CD \parallel C_1D_1$ и $DA \parallel D_1A_1$.
2. В плоскости $(C_1BC)$ лежат прямые $C_1B$ и $BC$, а в плоскости $(DAD_1)$ — прямые $DA$ и $AD_1$.
3. Поскольку $C_1B \parallel DA$ (как стороны параллелограммов $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$) и $BC \parallel AD_1$, то по теореме о параллельности двух пересекающихся прямых плоскости $(C_1BC)$ и $(DAD_1)$ параллельны.

Ответ: Плоскости $(C_1BC)$ и $(DAD_1)$ параллельны.

Задача 3

Условие: Даны две параллельные плоскости. Из точки $M$, не лежащей ни в одной из этих плоскостей, проведены две прямые, которые пересекают плоскости соответственно в точках $A_1$ и $A_2$, $B_1$ и $B_2$. Известно, что $MA_1 = 4 \, \text{см}$,