В основании пирамиды лежит прямоугольник. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углами 30° и 60°. Найдите площадь основания пирамиды, если объем равен 9.

Пусть высота пирамиды равна \(h\). Две грани, перпендикулярные основанию, пересекаются по боковому ребру, поэтому проекция вершины пирамиды на основание находится в вершине прямоугольника.

Обозначим стороны основания через \(a\) и \(b\). Тогда:

\[a=\frac{h}{\tan 30^\circ}=h\sqrt{3},\qquad b=\frac{h}{\tan 60^\circ}=\frac{h}{\sqrt{3}}.\]

Следовательно, площадь основания:

\[S=ab=h^2.\]

По формуле объёма пирамиды:

\[9=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}h^3.\]

Отсюда \(h^3=27\), значит, \(h=3\). Поэтому:

\[S=h^2=9.\]

Ответ: \(9\).

0 0 Пожаловаться