В основании четырёхугольной пирамиды лежит трапеция с острым углом 30° и высотой 14 см. Боковые грани пирамиды, которые содержат короткое основание и короткую боковую сторону трапеции, образуют с плоскостью основания прямой угол и прямой двугранный угол между собой. Остальные боковые грани образуют с плоскостью основания угол величиной 60°.
1. Определи вид трапеции, которая лежит в основании пирамиды:
2. Определи площадь боковых граней пирамиды: S=

1. Трапеция прямоугольная, с острым углом 30° при большем основании. Короткое основание и короткая боковая сторона перпендикулярны, высота трапеции равна 14 см.

2. Найдём высоту пирамиды. Так как грани, содержащие короткое основание и короткую боковую сторону, перпендикулярны основанию, вершина проектируется в точку их пересечения — вершину прямого угла трапеции. Обозначим её B. Высота пирамиды \(h = SB\). Грань, содержащая большее основание AD, наклонена под 60°. Расстояние от B до AD равно высоте трапеции, то есть 14 см. Тогда \(\tan 60^\circ = \frac{h}{14}\), откуда \(h = 14\sqrt{3}\) см.

Расстояние от B до боковой стороны CD также должно быть 14 см (из условия наклона грани SCD под 60°). Это позволяет найти короткое основание BC. Уравнение расстояния: \(\frac{BC}{2} = 14\), значит \(BC = 28\) см. Тогда большее основание \(AD = BC + 14\sqrt{3} = 28 + 14\sqrt{3}\) см. Боковая сторона \(CD = 28\) см.

Площади боковых граней:

• \(S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 14\sqrt{3} = 196\sqrt{3}\) см².
• \(S_{SBA} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 14\sqrt{3} = 98\sqrt{3}\) см².
• \(S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot SA\). \(SA = \sqrt{h^2 + AB^2} = \sqrt{(14\sqrt{3})^2 + 14^2} = 28\) см. \(S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot (28 + 14\sqrt{3}) \cdot 28 = 392 + 196\sqrt{3}\) см².
• \(S_{SCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot l\), где \(l\) — апофема к CD, \(l = \sqrt{h^2 + 14^2} = 28\) см. \(S_{SCD} = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 28 = 392\) см².

Общая площадь боковой поверхности: \(S = 196\sqrt{3} + 98\sqrt{3} + 392 + 196\sqrt{3} + 392 = 784 + 490\sqrt{3}\) см².

0 0 Пожаловаться