В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник ABC, угол C=90 градусов, угол A=30 градусов, BC=10. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под равными углами. Высота пирамиды равна 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Сначала разберёмся с основанием и положением вершины пирамиды, потом посчитаем площади трёх боковых граней по отдельности.

1. Стороны треугольника ABC

Дано:

• ∠C = 90°,

• ∠A = 30°, значит ∠B = 60°,

• BC = 10 — сторона, лежащая напротив угла A (30°).

Треугольник ABC — прямоугольный 30°–60°–90°. В таком треугольнике:

• сторона, лежащая напротив 30°, равна половине гипотенузы;

• сторона напротив 60° равна $\text{(сторона напротив 30°)} \cdot \sqrt{3}$.

У нас:

• BC — напротив ∠A = 30°, значит

  $$AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 10 = 20 \quad (\text{гипотенуза}),$$

• сторона AC напротив угла B = 60°:

  $$AC = BC \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3}.$$

Итак:

2. Положение вершины D

Условия: боковые рёбра DA, DB, DC наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами, высота пирамиды DH = 5.

Пусть H — проекция вершины D на плоскость основания (то есть DH ⟂ плоскости ABC).

Угол между ребром (например, DA) и плоскостью основания один и тот же для всех трёх рёбер.
Формула для синуса угла между прямой и плоскостью:

Так как DH = 5 одно и то же для всех, а угол один и тот же, получаем:

То есть вершина D равноудалена от A, B и C.

Рассмотрим проекцию H. В трёхмерном треугольнике:

Так как $DA = DB = DC$, то:

То есть точка H равноудалена от всех трёх вершин треугольника ABC — это центр окружности, описанной вокруг треугольника ABC, т.е. окружности, описанной вокруг основания.

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности — середина гипотенузы.
Следовательно, H — середина отрезка AB.

Радиус описанной окружности:

Значит:

Теперь найдём длину бокового ребра, например DA:

Аналогично:

3. Площади боковых граней

Каждая боковая грань — треугольник с двумя равными сторонами $5\sqrt{5}$ и третьей стороной — стороной основания.

Удобная формула площади равнобедренного треугольника с боковыми сторонами $a$ и основанием $b$:

У нас во всех треугольниках:

3.1. Площадь треугольника DAB

Основание: $A$