В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S — вершина, SB = 13, AC = 24. Найдите длину отрезка SO. Найдите площадь боковой поверхности и площадь поверхности пирамиды.

Диагональ основания \(AC=24\), поэтому расстояние от центра квадрата до вершины \(B\):

\[OB=\frac{AC}{2}=12.\]

Треугольник \(SOB\) прямоугольный, значит:

\[SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5.\]

Сторона основания:

\[AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}=12\sqrt{2}.\]

Апофема пирамиды — высота боковой грани. Она равна:

\[SM=\sqrt{SO^2+\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=\sqrt{5^2+\left(6\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{97}.\]

Площадь боковой поверхности:

\[S_{бок}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot AB\cdot SM=24\sqrt{194}.\]

Площадь основания \(S_{осн}=AB^2=288\). Поэтому полная площадь поверхности:

\[S_{полн}=288+24\sqrt{194}.\]

Ответ: \(SO=5\), \(S_{бок}=24\sqrt{194}\), \(S_{полн}=288+24\sqrt{194}\).

0 0 Пожаловаться