Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 2а, высота пирамиды равна а корень из 2. Найдите: а) сторону основания; б) угол между боковой гранью и основанием; в) площадь поверхности пирамиды; г) расстояние от центра основания пирамиды до плоскости боковой грани.

Задача относится к правильной четырехугольной пирамиде. Давайте разберемся по частям.

Даны:

• Апофема пирамиды $p = 2a$.
• Высота пирамиды $h = a\sqrt{2}$.

Найдем:

1. Сторону основания.
2. Угол между боковой гранью и основанием.
3. Площадь поверхности пирамиды.
4. Расстояние от центра основания до плоскости боковой грани.

a) Сторона основания

Для нахождения стороны основания, будем использовать геометрические соотношения. Известно, что апофема (высота боковой грани) и высота пирамиды (перпендикуляр от вершины пирамиды до центра основания) могут быть использованы для вычислений.

1. Апофема $p$ и половина стороны основания $\frac{a_0}{2}$ образуют прямоугольный треугольник с высотой пирамиды $h$. По теореме Пифагора в этом треугольнике:

2. Подставим известные значения:

3. Решаем:

Ответ для а): сторона основания $a_0 = 2a\sqrt{2}$.

b) Угол между боковой гранью и основанием

Угол между боковой гранью и основанием можно найти, используя тригонометрию. Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания.

1. В этом прямоугольном треугольнике угловой коэффициент будет равен тангенсу угла $\theta$ между боковой гранью и основанием:

2. Подставим известные значения $a_0 = 2a\sqrt{2}$ и $h = a\sqrt{2}$:

3. Таким образом, угол $\theta = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ для б): угол между боковой гранью и основанием $45^\circ$.

c) Площадь поверхности пирамиды

Площадь поверхности пирамиды состоит из площади основания и площади боковых граней. Основание — квадрат, его площадь равна $a_0^2$. Площадь боковых граней — это сумма площадей всех треугольников, составляющих боковые грани пирамиды.

1. Площадь основания:

2. Площадь одной боковой грани (треугольник с основанием $a_0$ и высотой $p = 2a$):