В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре АА1, причём АМ:МА1 = 3:1, а точка N — середина ребра ВС. Вычислите косинус угла между прямыми MN и А1С.

Пусть ребро куба равно \(1\). Выберем координаты: \(A(0,0,0)\), \(A_1(0,0,1)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\).

Так как \(AM:MA_1=3:1\), то \(M(0,0,\frac34)\). Точка \(N\) — середина \(BC\), поэтому \(N(1,\frac12,0)\).

Направляющие векторы прямых:

\[\overrightarrow{MN}=(4,2,-3),\qquad \overrightarrow{A_1C}=(1,1,-1).\]

Тогда

\[\cos\varphi=\frac{4\cdot1+2\cdot1+(-3)\cdot(-1)}{\sqrt{4^2+2^2+(-3)^2}\cdot\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}}=\frac{9}{\sqrt{87}}=\frac{3\sqrt{87}}{29}.\]

Ответ: \(\frac{3\sqrt{87}}{29}\).

0 0 Пожаловаться