В треугольнике АВС В1-середина АС, точка А1 лежит на стороне ВС так, что ВА1 : А1С = 1 : 2. Используя векторы, докажите, что середина ВВ1 лежит на прямой АА1

Для решения задачи воспользуемся векторным методом и введем систему координат. Пусть $\overrightarrow{A}$, $\overrightarrow{B}$, и $\overrightarrow{C}$ — это радиус-векторы вершин треугольника $ABC$.

Шаг 1: Векторные координаты точки $B_1$

Так как $B_1$ — середина отрезка $AC$, её радиус-вектор можно найти как среднее арифметическое радиус-векторов точек $A$ и $C$. То есть:

Шаг 2: Векторные координаты точки $A_1$

По условию задачи, точка $A_1$ делит сторону $BC$ в отношении 1:2, то есть $\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{1}{2}$. Вектор $\overrightarrow{A_1}$ можно найти, используя формулу деления отрезка в заданном отношении:

Шаг 3: Векторные координаты середины отрезка $BB_1$

Найдём середину отрезка $BB_1$, её радиус-вектор будет средним арифметическим радиус-векторов точек $B$ и $B_1$:

Подставим $\overrightarrow{B_1}$ из Шага 1:

Шаг 4: Проверим принадлежность точки $M$ прямой $AA_1$

Теперь проверим, лежит ли точка $M$ на прямой $AA_1$. Для этого посмотрим, можно ли вектор $\overrightarrow{M}$ выразить как линейную комбинацию векторов $\overrightarrow{A}$ и $\overrightarrow{A_1}$. Прямая $AA_1$ задается векторным уравнением вида: