В треугольной пирамиде МАВС основанием является правильный треугольник АВС, ребро МВ перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а
ребро МА равно 5. На ребре AC находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ точка L. Известно, что BE=1, и AD=AL=2. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.

Сечение проходит через точки \(E\), \(D\) и \(L\), которые лежат на рёбрах \(AB\), \(AC\) и \(AM\). Поэтому сечение — треугольник \(EDL\).

Расположим пирамиду в координатах: \(B(0;0;0)\), \(A(3;0;0)\), \(C\left(\frac{3}{2};\frac{3\sqrt3}{2};0\right)\). Так как \(MB \perp (ABC)\), а \(MA=5\), \(AB=3\), то:

\[MB=\sqrt{MA^2-AB^2}=\sqrt{25-9}=4\]

Значит, \(M(0;0;4)\).

Найдём координаты точек:

• \(BE=1\), значит \(E(1;0;0)\);
• \(AD=2\), а \(AC=3\), значит \(D\left(2;\sqrt3;0\right)\);
• \(AL=2\), а \(AM=5\), значит \(L\left(\frac95;0;\frac85\right)\).

Теперь найдём площадь треугольника \(EDL\):

\[S=\frac12\left|\overrightarrow{ED}\times\overrightarrow{EL}\right|\]

\[\overrightarrow{ED}=(1;\sqrt3;0), \quad \overrightarrow{EL}=\left(\frac45;0;\frac85\right)\]

Длина векторного произведения равна:

\[\left|\overrightarrow{ED}\times\overrightarrow{EL}\right|=\frac{4\sqrt{19}}5\]

Тогда:

\[S=\frac12\cdot \frac{4\sqrt{19}}5=\frac{2\sqrt{19}}5\]

Ответ: \(\frac{2\sqrt{19}}5\).

0 0 Пожаловаться