1 - cosx = 2sin(x/2). Как решить?

Чтобы решить уравнение $1 - \cos(x) = 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right)$, можно использовать тригонометрические тождества и преобразования.

1. Применим формулу для косинуса половинного угла:
   Вспомним, что $\cos(x) = 1 - 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$, что является следствием формулы для косинуса двойного угла. Подставим это выражение в исходное уравнение:

   $$1 - \left(1 - 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\right) = 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right)$$

2. Упростим уравнение:
   Раскроем скобки и упростим:

   $$1 - 1 + 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right)$$

   Получаем:

   $$2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right)$$

3. Поделим обе части на 2:

   $$\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = \sin\left(\frac{x}{2}\right)$$

4. Приведем к квадратному уравнению:
   Переносим все в одну сторону:

   $$\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right) = 0$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\sin\left(\frac{x}{2}\right) \left(\sin\left(\frac{x}{2}\right) - 1\right) = 0$$

5. Решим уравнение:
   У нас два возможных случая:

   • $\sin\left(\frac{x}{2}\right) = 0$

   • $\sin\left(\frac{x}{2}\right) - 1 = 0$

   Для первого случая:

   $$\sin\left(\frac{x}{2}\right) = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2} = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

   Отсюда:

   $$x = 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

   Для второго случая:

   $$\sin\left(\frac{x}{2}\right) = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

   Отсюда:

   $$x = \pi + 4k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

6. Ответ:
   Решения уравнения $1 - \cos(x) = 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right)$ будут:

   $$x = 2n\pi \quad \text{или} \quad x = \pi + 4k\pi, \quad n, k \in \mathbb{Z}$$