2у-2/у+3 + у+3/у-3 =5

Давайте разберемся с данным уравнением:

$\frac{2y - 2}{y + 3} + \frac{y + 3}{y - 3} = 5.$

1. Приведем все дроби к общему знаменателю. Для этого нам нужно найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) для дробей $\frac{2y - 2}{y + 3}$ и $\frac{y + 3}{y - 3}$. НОЗ будет $(y + 3)(y - 3)$.

2. Перепишем обе дроби с этим общим знаменателем:

   $$\frac{2y - 2}{y + 3} = \frac{(2y - 2)(y - 3)}{(y + 3)(y - 3)},$$ $$\frac{y + 3}{y - 3} = \frac{(y + 3)(y + 3)}{(y + 3)(y - 3)}.$$

3. Сложим дроби, так как они теперь имеют одинаковый знаменатель:

   $$\frac{(2y - 2)(y - 3) + (y + 3)(y + 3)}{(y + 3)(y - 3)} = 5.$$

4. Умножим обе части уравнения на знаменатель $(y + 3)(y - 3)$, чтобы избавиться от дробей:

   $$(2y - 2)(y - 3) + (y + 3)(y + 3) = 5(y + 3)(y - 3).$$

5. Раскроем скобки в каждой из частей:

   • $(2y - 2)(y - 3) = 2y^2 - 6y - 2y + 6 = 2y^2 - 8y + 6$,

   • $(y + 3)(y + 3) = y^2 + 6y + 9$,

   • $(y + 3)(y - 3) = y^2 - 9$.

   Подставим эти выражения в уравнение:

   $$(2y^2 - 8y + 6) + (y^2 + 6y + 9) = 5(y^2 - 9).$$

6. Упростим выражения:

   $$2y^2 - 8y + 6 + y^2 + 6y + 9 = 5y^2 - 45.$$

   Сложим подобные члены:

   $$3y^2 - 2y + 15 = 5y^2 - 45.$$

7. Переносим все на одну сторону уравнения:

   $$3y^2 - 2y + 15 - 5y^2 + 45 = 0,$$ $$-2y^2 - 2y + 60 = 0.$$

8. Умножим все на -1 для удобства:

   $$2y^2 + 2y - 60 = 0.$$

9. Разделим все на 2:

   $$y^2 + y - 30 = 0.$$

10. Теперь решим квадратное уравнение $y^2 + y - 30 = 0$ с помощью дискриминанта:

    Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-30) = 1 + 120 = 121$.

    Корни уравнения:

    $$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 \pm 11}{2}.<$$