На доске написано число. Олег играет в арифметическую игру: он может либо стереть последнюю цифру написанного числа, либо прибавить к написанному числу число 2018 и записать полученный результат, стерев предыдущее число. Может ли Олег, действуя таким образом, в конце концов получить число 1? Если да, покажмте как: если нет, объясните почему.

Для ответа на этот вопрос нужно рассмотреть, какие операции может выполнять Олег и как они влияют на получаемое число. Олег может:

1. Стереть последнюю цифру числа. Это действие фактически делит число на 10 (отбрасывая остаток).
2. Прибавить к текущему числу 2018.

Цель - получить число 1. Рассмотрим обратный процесс: можно ли из 1 получить число, с которого начал Олег, используя обратные операции: умножение на 10 и вычитание 2018.

Если начать с 1 и попытаться применить обратные операции, то становится ясно, что вычитание 2018 немедленно приведет к отрицательному числу, что недопустимо, так как Олег может работать только с положительными числами. Следовательно, единственная возможная операция из состояния 1 - это умножение на 10, что дает числа, оканчивающиеся на 0.

Чтобы добраться обратно к 1, Олег должен был бы в какой-то момент выполнить операцию, обратную добавлению 2018, то есть вычесть 2018 из числа, оканчивающегося на 0. Но вычитание 2018 из числа, оканчивающегося на 0, никогда не даст в результате число, оканчивающееся на 1, потому что последняя цифра любого числа, из которого вычитается 2018, будет равна 2 (так как 0 - 8 не возможно без займа, и следующий заем изменит последнюю цифру на 2).

Таким образом, использование данных операций не позволит Олегу превратить какое-либо начальное число в 1, так как ни одна из операций не может уменьшить число до 1, не проходя через состояния, которые не могут быть достигнуты обратными операциями из 1.