Как работать со степенями в дробях?

Работа со степенями в дробях подчиняется тем же основным правилам, что и с обычными числами, но с учётом особенностей дробей. Вот подробное объяснение, как работать со степенями в дробях:

1. Возведение дроби в степень

Если у вас есть дробь и вы хотите возвести её в степень, это означает, что и числитель, и знаменатель нужно возвести в эту степень по отдельности:

Пример:

Это правило работает как для положительных, так и для отрицательных степеней.

2. Отрицательная степень

Если дробь возводится в отрицательную степень, это значит, что нужно взять обратную дробь и уже её возвести в положительную степень:

Пример:

Таким образом, отрицательная степень "переворачивает" дробь.

3. Степень числителя или знаменателя

Иногда только числитель или знаменатель находится в степени. В таком случае возводится только та часть:

Примеры:

• $\frac{2^3}{3} = \frac{8}{3}$

• $\frac{5}{4^2} = \frac{5}{16}$

Важно следить, к чему относится степень: ко всей дроби или к отдельному элементу.

4. Дробная степень (корень)

Если степень дроби — дробное число, например $\frac{1}{2}$, это означает, что нужно извлечь корень из числителя и знаменателя:

Пример:

Если степень $\frac{m}{n}$, то дробь сначала возводится в степень $m$, а потом извлекается корень степени $n$, или наоборот.

5. Умножение и деление дробей со степенями

Когда вы умножаете или делите дроби в одинаковых степенях, можно сначала выполнить операцию с дробями, а потом возвести результат в степень:

Примеры:

\left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \left(\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5}\right)^2 = \left(\frac{8}{15}\right)^2 = \frac{64}{225}
]

\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^3}{\left(\frac{4}{5}\right)^3} = \left(\frac{2/3}{4/5}\right)^3 = \left(\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4}\right)^3 = \left(\frac{10}{12}\right)^3 = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}
]

6. Сравнение степеней дробей

Меньшие по значению дроби при возведении в положительную степень становятся ещё меньше, а при возведении в отрицательную — больше. Это важно при сравнении.

Пример:

В целом, главное правило — быть внимательным к тому, к чему относится степень, и помнить основные свойства степеней. Всё остальное работает так же, как и с целыми числами.