lg²(x+1) = lg(x+1)lg(x-1) + 2lg²(x-1)

Решим уравнение:

1. Рассмотрим возможные ограничения:
   Логарифм существует только при положительных значениях аргументов, то есть:

   • $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$

   • $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

   Таким образом, решение будет определяться для $x > 1$.

2. Перепишем уравнение, используя логарифмические свойства:
   Разложим все логарифмы в уравнении на элементы, используя стандартные преобразования:

   $$\lg^2(x+1) = (\lg(x+1))^2$$

   и

   $$2 \lg^2(x-1) = 2(\lg(x-1))^2$$

   Таким образом, уравнение преобразуется в:

   $$(\lg(x+1))^2 = \lg(x+1)\lg(x-1) + 2(\lg(x-1))^2$$

3. Попробуем подставить конкретные значения:
   Давайте попробуем решить уравнение для конкретных значений $x$, начиная с $x = 2$ (поскольку $x > 1$).

   При $x = 2$:

   • $\lg(x+1) = \lg(3)$

   • $\lg(x-1) = \lg(1)$

   Подставляем в уравнение:

   $$(\lg(3))^2 = \lg(3)\lg(1) + 2(\lg(1))^2$$

   Поскольку $\lg(1) = 0$, уравнение сводится к:

   $$(\lg(3))^2 = 0$$

   Это неверно, потому что $\lg(3)$ не равно нулю. Значит, $x = 2$ не является решением.

4. Дальнейшие попытки:
   Мы можем попытаться другие значения $x$, однако, уже из примера видно, что уравнение может быть довольно сложным для решения методом подбора. Однако можно попытаться решить его с помощью других методов, таких как графический метод или численные методы решения нелинейных уравнений.

Таким образом, уравнение не имеет очевидных решений для простых значений $x$, и для его решения стоит использовать более сложные подходы.